MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubm Unicode version

Theorem lsmsubm 14964
Description: The sum of two commuting submonoids is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmsubg.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmsubm  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )

Proof of Theorem lsmsubm
Dummy variables  a 
b  c  d  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 14424 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
213ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  G  e.  Mnd )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
43submss 14427 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubMnd `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
543ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
63submss 14427 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubMnd `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
763ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
8 lsmsubg.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
93, 8lsmssv 14954 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G ) )
102, 5, 7, 9syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G ) )
11 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
123, 8lsmub1x 14957 . . . 4  |-  ( ( T  C_  ( Base `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  T  C_  ( T  .(+)  U ) )
135, 11, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  C_  ( T  .(+)  U ) )
14 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
1514subm0cl 14429 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  T
)
16153ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  T
)
1713, 16sseldd 3181 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( T  .(+)  U )
)
18 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
193, 18, 8lsmelvalx 14951 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) c ) ) )
202, 5, 7, 19syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) c ) ) )
213, 18, 8lsmelvalx 14951 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( y  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) ) )
222, 5, 7, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( y  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) ) )
2320, 22anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( x  e.  ( T  .(+)  U )  /\  y  e.  ( T  .(+)  U ) )  <->  ( E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) ) ) )
24 reeanv 2707 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  T  E. b  e.  T  ( E. c  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) )  <->  ( E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) ) )
25 reeanv 2707 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  U  E. d  e.  U  (
x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  <->  ( E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) ) )
262adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  G  e.  Mnd )
275adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  T  C_  ( Base `  G
) )
28 simprll 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  a  e.  T )
2927, 28sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  a  e.  ( Base `  G
) )
30 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  b  e.  T )
3127, 30sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  b  e.  ( Base `  G
) )
327adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  U  C_  ( Base `  G
) )
33 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  c  e.  U )
3432, 33sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  c  e.  ( Base `  G
) )
35 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  d  e.  U )
3632, 35sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  d  e.  ( Base `  G
) )
37 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  T  C_  ( Z `  U
) )
3837, 30sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  b  e.  ( Z `  U
) )
39 lsmsubg.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  (Cntz `  G )
4018, 39cntzi 14805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Z `
 U )  /\  c  e.  U )  ->  ( b ( +g  `  G ) c )  =  ( c ( +g  `  G ) b ) )
4138, 33, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
b ( +g  `  G
) c )  =  ( c ( +g  `  G ) b ) )
423, 18, 26, 29, 31, 34, 36, 41mnd4g 14378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G
) ( c ( +g  `  G ) d ) )  =  ( ( a ( +g  `  G ) c ) ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) d ) ) )
43 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  T  e.  (SubMnd `  G )
)
4418submcl 14430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  a  e.  T  /\  b  e.  T )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  T )
4543, 28, 30, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  T )
46 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  U  e.  (SubMnd `  G )
)
4718submcl 14430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (SubMnd `  G )  /\  c  e.  U  /\  d  e.  U )  ->  (
c ( +g  `  G
) d )  e.  U )
4846, 33, 35, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
c ( +g  `  G
) d )  e.  U )
493, 18, 8lsmelvalix 14952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G )  /\  U  C_  ( Base `  G
) )  /\  (
( a ( +g  `  G ) b )  e.  T  /\  (
c ( +g  `  G
) d )  e.  U ) )  -> 
( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) ( c ( +g  `  G
) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
5026, 27, 32, 45, 48, 49syl32anc 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G
) ( c ( +g  `  G ) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
5142, 50eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( a ( +g  `  G ) c ) ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
52 oveq12 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( ( a ( +g  `  G
) c ) ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G ) d ) ) )
5352eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )  <->  ( ( a ( +g  `  G ) c ) ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
5451, 53syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
5554anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `  U
) )  /\  (
a  e.  T  /\  b  e.  T )
)  /\  ( c  e.  U  /\  d  e.  U ) )  -> 
( ( x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
5655rexlimdvva 2674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  T ) )  -> 
( E. c  e.  U  E. d  e.  U  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
5725, 56syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  T ) )  -> 
( ( E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
5857rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( E. a  e.  T  E. b  e.  T  ( E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
5924, 58syl5bir 209 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
6023, 59sylbid 206 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( x  e.  ( T  .(+)  U )  /\  y  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
6160ralrimivv 2634 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  A. x  e.  ( T  .(+)  U ) A. y  e.  ( T  .(+)  U ) ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( T  .(+)  U ) )
623, 14, 18issubm 14425 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( ( T 
.(+)  U )  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  ( T  .(+)  U )  /\  A. x  e.  ( T  .(+)  U ) A. y  e.  ( T  .(+)  U )
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) ) )
632, 62syl 15 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  ( T 
.(+)  U )  /\  A. x  e.  ( T  .(+) 
U ) A. y  e.  ( T  .(+)  U ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) ) )
6410, 17, 61, 63mpbir3and 1135 1  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361  SubMndcsubmnd 14414  Cntzccntz 14791   LSSumclsm 14945
This theorem is referenced by:  lsmsubg  14965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-cntz 14793  df-lsm 14947
  Copyright terms: Public domain W3C validator