Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubm Structured version   Unicode version

Theorem lsmsubm 15292
 Description: The sum of two commuting submonoids is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p
lsmsubg.z Cntz
Assertion
Ref Expression
lsmsubm SubMnd SubMnd SubMnd

Proof of Theorem lsmsubm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 14752 . . . 4 SubMnd
213ad2ant1 979 . . 3 SubMnd SubMnd
3 eqid 2438 . . . . 5
43submss 14755 . . . 4 SubMnd
543ad2ant1 979 . . 3 SubMnd SubMnd
63submss 14755 . . . 4 SubMnd
763ad2ant2 980 . . 3 SubMnd SubMnd
8 lsmsubg.p . . . 4
93, 8lsmssv 15282 . . 3
102, 5, 7, 9syl3anc 1185 . 2 SubMnd SubMnd
11 simp2 959 . . . 4 SubMnd SubMnd SubMnd
123, 8lsmub1x 15285 . . . 4 SubMnd
135, 11, 12syl2anc 644 . . 3 SubMnd SubMnd
14 eqid 2438 . . . . 5
1514subm0cl 14757 . . . 4 SubMnd
16153ad2ant1 979 . . 3 SubMnd SubMnd
1713, 16sseldd 3351 . 2 SubMnd SubMnd
18 eqid 2438 . . . . . . 7
193, 18, 8lsmelvalx 15279 . . . . . 6
202, 5, 7, 19syl3anc 1185 . . . . 5 SubMnd SubMnd
213, 18, 8lsmelvalx 15279 . . . . . 6
222, 5, 7, 21syl3anc 1185 . . . . 5 SubMnd SubMnd
2320, 22anbi12d 693 . . . 4 SubMnd SubMnd
24 reeanv 2877 . . . . 5
25 reeanv 2877 . . . . . . 7
262adantr 453 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
275adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
28 simprll 740 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
2927, 28sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
30 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
3127, 30sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
327adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
33 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
3432, 33sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
35 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
3632, 35sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
37 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . 14 SubMnd SubMnd
3837, 30sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
39 lsmsubg.z . . . . . . . . . . . . . 14 Cntz
4018, 39cntzi 15133 . . . . . . . . . . . . 13
4138, 33, 40syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
423, 18, 26, 29, 31, 34, 36, 41mnd4g 14706 . . . . . . . . . . 11 SubMnd SubMnd
43 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd SubMnd
4418submcl 14758 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd
4543, 28, 30, 44syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
46 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd SubMnd
4718submcl 14758 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd
4846, 33, 35, 47syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
493, 18, 8lsmelvalix 15280 . . . . . . . . . . . 12
5026, 27, 32, 45, 48, 49syl32anc 1193 . . . . . . . . . . 11 SubMnd SubMnd
5142, 50eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10 SubMnd SubMnd
52 oveq12 6093 . . . . . . . . . . 11
5352eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10
5451, 53syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9 SubMnd SubMnd
5554anassrs 631 . . . . . . . 8 SubMnd SubMnd
5655rexlimdvva 2839 . . . . . . 7 SubMnd SubMnd
5725, 56syl5bir 211 . . . . . 6 SubMnd SubMnd
5857rexlimdvva 2839 . . . . 5 SubMnd SubMnd
5924, 58syl5bir 211 . . . 4 SubMnd SubMnd
6023, 59sylbid 208 . . 3 SubMnd SubMnd
6160ralrimivv 2799 . 2 SubMnd SubMnd
623, 14, 18issubm 14753 . . 3 SubMnd
632, 62syl 16 . 2 SubMnd SubMnd SubMnd
6410, 17, 61, 63mpbir3and 1138 1 SubMnd SubMnd SubMnd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   wss 3322  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   cplusg 13534  c0g 13728  cmnd 14689  SubMndcsubmnd 14742  Cntzccntz 15119  clsm 15273 This theorem is referenced by:  lsmsubg  15293 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-cntz 15121  df-lsm 15275
 Copyright terms: Public domain W3C validator