MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubm Unicode version

Theorem lsmsubm 15246
Description: The sum of two commuting submonoids is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmsubg.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmsubm  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )

Proof of Theorem lsmsubm
Dummy variables  a 
b  c  d  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 14706 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
213ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  G  e.  Mnd )
3 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
43submss 14709 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubMnd `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
543ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
63submss 14709 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubMnd `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
763ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
8 lsmsubg.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
93, 8lsmssv 15236 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G ) )
102, 5, 7, 9syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G ) )
11 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
123, 8lsmub1x 15239 . . . 4  |-  ( ( T  C_  ( Base `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  T  C_  ( T  .(+)  U ) )
135, 11, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  C_  ( T  .(+)  U ) )
14 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
1514subm0cl 14711 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  T
)
16153ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  T
)
1713, 16sseldd 3313 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( T  .(+)  U )
)
18 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
193, 18, 8lsmelvalx 15233 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) c ) ) )
202, 5, 7, 19syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) c ) ) )
213, 18, 8lsmelvalx 15233 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( y  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) ) )
222, 5, 7, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( y  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) ) )
2320, 22anbi12d 692 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( x  e.  ( T  .(+)  U )  /\  y  e.  ( T  .(+)  U ) )  <->  ( E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) ) ) )
24 reeanv 2839 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  T  E. b  e.  T  ( E. c  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) )  <->  ( E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) ) )
25 reeanv 2839 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  U  E. d  e.  U  (
x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  <->  ( E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) ) )
262adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  G  e.  Mnd )
275adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  T  C_  ( Base `  G
) )
28 simprll 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  a  e.  T )
2927, 28sseldd 3313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  a  e.  ( Base `  G
) )
30 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  b  e.  T )
3127, 30sseldd 3313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  b  e.  ( Base `  G
) )
327adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  U  C_  ( Base `  G
) )
33 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  c  e.  U )
3432, 33sseldd 3313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  c  e.  ( Base `  G
) )
35 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  d  e.  U )
3632, 35sseldd 3313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  d  e.  ( Base `  G
) )
37 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  T  C_  ( Z `  U
) )
3837, 30sseldd 3313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  b  e.  ( Z `  U
) )
39 lsmsubg.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  (Cntz `  G )
4018, 39cntzi 15087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Z `
 U )  /\  c  e.  U )  ->  ( b ( +g  `  G ) c )  =  ( c ( +g  `  G ) b ) )
4138, 33, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
b ( +g  `  G
) c )  =  ( c ( +g  `  G ) b ) )
423, 18, 26, 29, 31, 34, 36, 41mnd4g 14660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G
) ( c ( +g  `  G ) d ) )  =  ( ( a ( +g  `  G ) c ) ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) d ) ) )
43 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  T  e.  (SubMnd `  G )
)
4418submcl 14712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  a  e.  T  /\  b  e.  T )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  T )
4543, 28, 30, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  T )
46 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  U  e.  (SubMnd `  G )
)
4718submcl 14712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (SubMnd `  G )  /\  c  e.  U  /\  d  e.  U )  ->  (
c ( +g  `  G
) d )  e.  U )
4846, 33, 35, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
c ( +g  `  G
) d )  e.  U )
493, 18, 8lsmelvalix 15234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G )  /\  U  C_  ( Base `  G
) )  /\  (
( a ( +g  `  G ) b )  e.  T  /\  (
c ( +g  `  G
) d )  e.  U ) )  -> 
( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) ( c ( +g  `  G
) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
5026, 27, 32, 45, 48, 49syl32anc 1192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G
) ( c ( +g  `  G ) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
5142, 50eqeltrrd 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( a ( +g  `  G ) c ) ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
52 oveq12 6053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( ( a ( +g  `  G
) c ) ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G ) d ) ) )
5352eleq1d 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )  <->  ( ( a ( +g  `  G ) c ) ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
5451, 53syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
5554anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `  U
) )  /\  (
a  e.  T  /\  b  e.  T )
)  /\  ( c  e.  U  /\  d  e.  U ) )  -> 
( ( x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
5655rexlimdvva 2801 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  T ) )  -> 
( E. c  e.  U  E. d  e.  U  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
5725, 56syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  T ) )  -> 
( ( E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
5857rexlimdvva 2801 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( E. a  e.  T  E. b  e.  T  ( E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
5924, 58syl5bir 210 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
6023, 59sylbid 207 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( x  e.  ( T  .(+)  U )  /\  y  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
6160ralrimivv 2761 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  A. x  e.  ( T  .(+)  U ) A. y  e.  ( T  .(+)  U ) ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( T  .(+)  U ) )
623, 14, 18issubm 14707 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( ( T 
.(+)  U )  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  ( T  .(+)  U )  /\  A. x  e.  ( T  .(+)  U ) A. y  e.  ( T  .(+)  U )
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) ) )
632, 62syl 16 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  ( T 
.(+)  U )  /\  A. x  e.  ( T  .(+) 
U ) A. y  e.  ( T  .(+)  U ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) ) )
6410, 17, 61, 63mpbir3and 1137 1  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428   +g cplusg 13488   0gc0g 13682   Mndcmnd 14643  SubMndcsubmnd 14696  Cntzccntz 15073   LSSumclsm 15227
This theorem is referenced by:  lsmsubg  15247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-cntz 15075  df-lsm 15229
  Copyright terms: Public domain W3C validator