MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmub1x Unicode version

Theorem lsmub1x 14957
Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmless2.v  |-  B  =  ( Base `  G
)
lsmless2.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmub1x  |-  ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  T  C_  ( T  .(+)  U ) )

Proof of Theorem lsmub1x
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 14424 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
21ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  G  e.  Mnd )
3 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  T  C_  B )
4 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  T )
53, 4sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  B )
6 lsmless2.v . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
96, 7, 8mndrid 14394 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  x )
102, 5, 9syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  x )
116submss 14427 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (SubMnd `  G
)  ->  U  C_  B
)
1211ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  U  C_  B )
138subm0cl 14429 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  U
)
1413ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( 0g `  G
)  e.  U )
15 lsmless2.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
166, 7, 15lsmelvalix 14952 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  /\  ( x  e.  T  /\  ( 0g `  G
)  e.  U ) )  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  e.  ( T  .(+)  U )
)
172, 3, 12, 4, 14, 16syl32anc 1190 . . . 4  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
1810, 17eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ( T 
.(+)  U ) )
1918ex 423 . 2  |-  ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  (
x  e.  T  ->  x  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
2019ssrdv 3185 1  |-  ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  T  C_  ( T  .(+)  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361  SubMndcsubmnd 14414   LSSumclsm 14945
This theorem is referenced by:  lsmsubm  14964  lsmub1  14967
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-lsm 14947
  Copyright terms: Public domain W3C validator