Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspabs3 Structured version   Unicode version

Theorem lspabs3 16193
 Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspabs2.v
lspabs2.p
lspabs2.o
lspabs2.n
lspabs2.w
lspabs2.x
lspabs3.y
lspabs3.xy
lspabs3.e
Assertion
Ref Expression
lspabs3

Proof of Theorem lspabs3
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5
2 lspabs2.n . . . . 5
3 lspabs2.w . . . . . 6
4 lveclmod 16178 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
6 lspabs2.x . . . . . . 7
7 lspabs2.v . . . . . . . 8
87, 1, 2lspsncl 16053 . . . . . . 7
95, 6, 8syl2anc 643 . . . . . 6
10 lspabs3.y . . . . . . 7
117, 1, 2lspsncl 16053 . . . . . . 7
125, 10, 11syl2anc 643 . . . . . 6
13 eqid 2436 . . . . . . 7
141, 13lsmcl 16155 . . . . . 6
155, 9, 12, 14syl3anc 1184 . . . . 5
167, 2lspsnsubg 16056 . . . . . . 7 SubGrp
175, 6, 16syl2anc 643 . . . . . 6 SubGrp
18 lspabs3.e . . . . . . 7
1918, 17eqeltrrd 2511 . . . . . 6 SubGrp
207, 2lspsnid 16069 . . . . . . 7
215, 6, 20syl2anc 643 . . . . . 6
227, 2lspsnid 16069 . . . . . . 7
235, 10, 22syl2anc 643 . . . . . 6
24 lspabs2.p . . . . . . 7
2524, 13lsmelvali 15284 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
2617, 19, 21, 23, 25syl22anc 1185 . . . . 5
271, 2, 5, 15, 26lspsnel5a 16072 . . . 4
2818oveq2d 6097 . . . . 5
2913lsmidm 15296 . . . . . 6 SubGrp
3017, 29syl 16 . . . . 5
3128, 30eqtr3d 2470 . . . 4
3227, 31sseqtrd 3384 . . 3
33 lspabs2.o . . . 4
347, 24lmodvacl 15964 . . . . . 6
355, 6, 10, 34syl3anc 1184 . . . . 5
36 lspabs3.xy . . . . 5
37 eldifsn 3927 . . . . 5
3835, 36, 37sylanbrc 646 . . . 4
397, 33, 2, 3, 38, 6lspsncmp 16188 . . 3
4032, 39mpbid 202 . 2
4140eqcomd 2441 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599   cdif 3317   wss 3320  csn 3814  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  c0g 13723  SubGrpcsubg 14938  clsm 15268  clmod 15950  clss 16008  clspn 16047  clvec 16174 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175
 Copyright terms: Public domain W3C validator