MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisjb Unicode version

Theorem lspdisjb 16127
Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisjb.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspdisjb.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspdisjb.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspdisjb.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspdisjb.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspdisjb.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspdisjb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
lspdisjb  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  U  <->  ( ( N `
 { X }
)  i^i  U )  =  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lspdisjb
StepHypRef Expression
1 lspdisjb.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspdisjb.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 lspdisjb.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspdisjb.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5 lspdisjb.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
65adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  W  e.  LVec )
7 lspdisjb.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
87adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  U  e.  S )
9 lspdisjb.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
109eldifad 3277 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  X  e.  V )
12 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  -.  X  e.  U )
131, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12lspdisj 16126 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  (
( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
14 eldifsni 3873 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
159, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
1615adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
17 lveclmod 16107 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
185, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
191, 3lspsnid 15998 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
2018, 10, 19syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
21 elin 3475 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( ( N `
 { X }
)  i^i  U )  <->  ( X  e.  ( N `
 { X }
)  /\  X  e.  U ) )
22 eleq2 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( X  e.  ( ( N `  { X } )  i^i 
U )  <->  X  e.  {  .0.  } ) )
23 elsni 3783 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  {  .0.  }  ->  X  =  .0.  )
2422, 23syl6bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( X  e.  ( ( N `  { X } )  i^i 
U )  ->  X  =  .0.  ) )
2521, 24syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( ( X  e.  ( N `  { X } )  /\  X  e.  U )  ->  X  =  .0.  )
)
2625exp3a 426 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  ->  ( X  e.  U  ->  X  =  .0.  ) ) )
2720, 26mpan9 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  ( X  e.  U  ->  X  =  .0.  ) )
2827necon3ad 2588 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  -.  X  e.  U ) )
2916, 28mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  -.  X  e.  U )
3013, 29impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  U  <->  ( ( N `
 { X }
)  i^i  U )  =  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552    \ cdif 3262    i^i cin 3264   {csn 3759   ` cfv 5396   Basecbs 13398   0gc0g 13652   LModclmod 15879   LSubSpclss 15937   LSpanclspn 15976   LVecclvec 16103
This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  31853  hdmap1l6b0N  31928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676  df-invr 15706  df-drng 15766  df-lmod 15881  df-lss 15938  df-lsp 15977  df-lvec 16104
  Copyright terms: Public domain W3C validator