MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisjb Structured version   Unicode version

Theorem lspdisjb 16190
Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisjb.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspdisjb.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspdisjb.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspdisjb.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspdisjb.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspdisjb.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspdisjb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
lspdisjb  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  U  <->  ( ( N `
 { X }
)  i^i  U )  =  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lspdisjb
StepHypRef Expression
1 lspdisjb.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspdisjb.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 lspdisjb.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspdisjb.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5 lspdisjb.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
65adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  W  e.  LVec )
7 lspdisjb.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
87adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  U  e.  S )
9 lspdisjb.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
109eldifad 3324 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  X  e.  V )
12 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  -.  X  e.  U )
131, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12lspdisj 16189 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  (
( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
14 eldifsni 3920 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
159, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
1615adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
17 lveclmod 16170 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
185, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
191, 3lspsnid 16061 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
2018, 10, 19syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
21 elin 3522 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( ( N `
 { X }
)  i^i  U )  <->  ( X  e.  ( N `
 { X }
)  /\  X  e.  U ) )
22 eleq2 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( X  e.  ( ( N `  { X } )  i^i 
U )  <->  X  e.  {  .0.  } ) )
23 elsni 3830 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  {  .0.  }  ->  X  =  .0.  )
2422, 23syl6bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( X  e.  ( ( N `  { X } )  i^i 
U )  ->  X  =  .0.  ) )
2521, 24syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( ( X  e.  ( N `  { X } )  /\  X  e.  U )  ->  X  =  .0.  )
)
2625exp3a 426 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  ->  ( X  e.  U  ->  X  =  .0.  ) ) )
2720, 26mpan9 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  ( X  e.  U  ->  X  =  .0.  ) )
2827necon3ad 2634 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  -.  X  e.  U ) )
2916, 28mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  -.  X  e.  U )
3013, 29impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  U  <->  ( ( N `
 { X }
)  i^i  U )  =  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    \ cdif 3309    i^i cin 3311   {csn 3806   ` cfv 5446   Basecbs 13461   0gc0g 13715   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   LSpanclspn 16039   LVecclvec 16166
This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  32471  hdmap1l6b0N  32546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167
  Copyright terms: Public domain W3C validator