MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspexchn1 Structured version   Unicode version

Theorem lspexchn1 16203
Description: Exchange property for span of a pair with negated membership. TODO: look at uses of lspexch 16202 to see if this will shorten proofs. (Contributed by NM, 20-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspexchn1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspexchn1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspexchn1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspexchn1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspexchn1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspexchn1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspexchn1.q  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z } ) )
lspexchn1.e  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
Assertion
Ref Expression
lspexchn1  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )

Proof of Theorem lspexchn1
StepHypRef Expression
1 lspexchn1.e . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
2 lspexchn1.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2437 . . 3  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4 lspexchn1.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
5 lspexchn1.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
65adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  W  e.  LVec )
7 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
8 lveclmod 16179 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
95, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
10 lspexchn1.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
112, 7, 4lspsncl 16054 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
129, 10, 11syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
13 lspexchn1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 lspexchn1.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z } ) )
152, 3, 7, 9, 12, 13, 14lssneln0 16029 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  W ) } ) )
1615adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  { ( 0g `  W ) } ) )
17 lspexchn1.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1817adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  X  e.  V
)
1910adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  Z  e.  V
)
202, 4, 9, 13, 10, 14lspsnne2 16191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
2120adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
22 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
232, 3, 4, 6, 16, 18, 19, 21, 22lspexch 16202 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
241, 23mtand 642 1  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600    \ cdif 3318   {csn 3815   {cpr 3816   ` cfv 5455   Basecbs 13470   0gc0g 13724   LModclmod 15951   LSubSpclss 16009   LSpanclspn 16048   LVecclvec 16175
This theorem is referenced by:  lspexchn2  16204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-lsm 15271  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-drng 15838  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-lvec 16176
  Copyright terms: Public domain W3C validator