Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspextmo Structured version   Unicode version

Theorem lspextmo 16132
 Description: A linear function is completely determined (or overdetermined) by its values on a spanning subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lspextmo.b
lspextmo.k
Assertion
Ref Expression
lspextmo LMHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lspextmo
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqtr3 2455 . . . 4
2 inss1 3561 . . . . . . . . 9
3 dmss 5069 . . . . . . . . 9
42, 3ax-mp 8 . . . . . . . 8
5 lspextmo.b . . . . . . . . . . . . 13
6 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
75, 6lmhmf 16110 . . . . . . . . . . . 12 LMHom
87ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11 LMHom LMHom
9 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10 LMHom LMHom
1110adantrr 698 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom
12 fndm 5544 . . . . . . . . 9
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
144, 13syl5sseq 3396 . . . . . . 7 LMHom LMHom
15 simplr 732 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
16 lmhmlmod1 16109 . . . . . . . . . . 11 LMHom
1716adantr 452 . . . . . . . . . 10 LMHom LMHom
1817ad2antrl 709 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom
19 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
2019lmhmeql 16131 . . . . . . . . . 10 LMHom LMHom
2120ad2antrl 709 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom
22 simprr 734 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom
23 lspextmo.k . . . . . . . . . 10
2419, 23lspssp 16064 . . . . . . . . 9
2518, 21, 22, 24syl3anc 1184 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
2615, 25eqsstr3d 3383 . . . . . . 7 LMHom LMHom
2714, 26eqssd 3365 . . . . . 6 LMHom LMHom
2827expr 599 . . . . 5 LMHom LMHom
29 simprr 734 . . . . . . 7 LMHom LMHom LMHom
305, 6lmhmf 16110 . . . . . . 7 LMHom
31 ffn 5591 . . . . . . 7
3229, 30, 313syl 19 . . . . . 6 LMHom LMHom
33 simpll 731 . . . . . 6 LMHom LMHom
34 fnreseql 5840 . . . . . 6
3510, 32, 33, 34syl3anc 1184 . . . . 5 LMHom LMHom
36 fneqeql 5838 . . . . . 6
3710, 32, 36syl2anc 643 . . . . 5 LMHom LMHom
3828, 35, 373imtr4d 260 . . . 4 LMHom LMHom
391, 38syl5 30 . . 3 LMHom LMHom
4039ralrimivva 2798 . 2 LMHom LMHom
41 reseq1 5140 . . . 4
4241eqeq1d 2444 . . 3
4342rmo4 3127 . 2 LMHom LMHom LMHom
4440, 43sylibr 204 1 LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrmo 2708   cin 3319   wss 3320   cdm 4878   cres 4880   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  clmod 15950  clss 16008  clspn 16047   LMHom clmhm 16095 This theorem is referenced by:  frlmup4  27230 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lmhm 16098
 Copyright terms: Public domain W3C validator