MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspf Unicode version

Theorem lspf 16013
Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspf  |-  ( W  e.  LMod  ->  N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf
Dummy variables  s  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  W  e.  LMod )
2 ssrab2 3396 . . . . 5  |-  { p  e.  S  |  s  C_  p }  C_  S
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  { p  e.  S  |  s  C_  p }  C_  S )
4 lspval.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspval.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
64, 5lss1 15978 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  V  e.  S )
7 elpwi 3775 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ~P V  -> 
s  C_  V )
8 sseq2 3338 . . . . . . 7  |-  ( p  =  V  ->  (
s  C_  p  <->  s  C_  V ) )
98rspcev 3020 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  S  /\  s  C_  V )  ->  E. p  e.  S  s  C_  p )
106, 7, 9syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  E. p  e.  S  s  C_  p )
11 rabn0 3615 . . . . 5  |-  ( { p  e.  S  | 
s  C_  p }  =/=  (/)  <->  E. p  e.  S  s  C_  p )
1210, 11sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  { p  e.  S  |  s  C_  p }  =/=  (/) )
135lssintcl 16003 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
p  e.  S  | 
s  C_  p }  C_  S  /\  { p  e.  S  |  s  C_  p }  =/=  (/) )  ->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p }  e.  S )
141, 3, 12, 13syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p }  e.  S )
15 eqid 2412 . . 3  |-  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
)  =  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
)
1614, 15fmptd 5860 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
) : ~P V --> S )
17 lspval.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
184, 5, 17lspfval 16012 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  N  =  ( s  e.  ~P V  |->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p } ) )
1918feq1d 5547 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N : ~P V --> S  <->  ( s  e.  ~P V  |->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p } ) : ~P V --> S ) )
2016, 19mpbird 224 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  N : ~P V --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   E.wrex 2675   {crab 2678    C_ wss 3288   (/)c0 3596   ~Pcpw 3767   |^|cint 4018    e. cmpt 4234   -->wf 5417   ` cfv 5421   Basecbs 13432   LModclmod 15913   LSubSpclss 15971   LSpanclspn 16010
This theorem is referenced by:  lspcl  16015  islmodfg  27043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011
  Copyright terms: Public domain W3C validator