MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspf Unicode version

Theorem lspf 15747
Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspf  |-  ( W  e.  LMod  ->  N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf
Dummy variables  s  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  W  e.  LMod )
2 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { p  e.  S  |  s  C_  p }  C_  S
32a1i 10 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  { p  e.  S  |  s  C_  p }  C_  S )
4 lspval.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspval.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
64, 5lss1 15712 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  V  e.  S )
7 elpwi 3646 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ~P V  -> 
s  C_  V )
8 sseq2 3213 . . . . . . 7  |-  ( p  =  V  ->  (
s  C_  p  <->  s  C_  V ) )
98rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  S  /\  s  C_  V )  ->  E. p  e.  S  s  C_  p )
106, 7, 9syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  E. p  e.  S  s  C_  p )
11 rabn0 3487 . . . . 5  |-  ( { p  e.  S  | 
s  C_  p }  =/=  (/)  <->  E. p  e.  S  s  C_  p )
1210, 11sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  { p  e.  S  |  s  C_  p }  =/=  (/) )
135lssintcl 15737 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
p  e.  S  | 
s  C_  p }  C_  S  /\  { p  e.  S  |  s  C_  p }  =/=  (/) )  ->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p }  e.  S )
141, 3, 12, 13syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p }  e.  S )
15 eqid 2296 . . 3  |-  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
)  =  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
)
1614, 15fmptd 5700 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
) : ~P V --> S )
17 lspval.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
184, 5, 17lspfval 15746 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  N  =  ( s  e.  ~P V  |->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p } ) )
1918feq1d 5395 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N : ~P V --> S  <->  ( s  e.  ~P V  |->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p } ) : ~P V --> S ) )
2016, 19mpbird 223 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  N : ~P V --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   |^|cint 3878    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271   Basecbs 13164   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744
This theorem is referenced by:  lspcl  15749  islmodfg  27270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745
  Copyright terms: Public domain W3C validator