Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspfixed Structured version   Unicode version

Theorem lspfixed 16200
 Description: Show membership in the span of the sum of two vectors, one of which () is fixed in advance. (Contributed by NM, 27-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspfixed.v
lspfixed.p
lspfixed.o
lspfixed.n
lspfixed.w
lspfixed.x
lspfixed.y
lspfixed.z
lspfixed.e
lspfixed.f
lspfixed.g
Assertion
Ref Expression
lspfixed
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem lspfixed
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspfixed.g . . 3
2 lspfixed.v . . . 4
3 lspfixed.p . . . 4
4 eqid 2436 . . . 4 Scalar Scalar
5 eqid 2436 . . . 4 Scalar Scalar
6 eqid 2436 . . . 4
7 lspfixed.n . . . 4
8 lspfixed.w . . . . 5
9 lveclmod 16178 . . . . 5
108, 9syl 16 . . . 4
11 lspfixed.y . . . 4
12 lspfixed.z . . . 4
132, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12lspprel 16166 . . 3 Scalar Scalar
141, 13mpbid 202 . 2 Scalar Scalar
15103ad2ant1 978 . . . . . . 7 Scalar Scalar
16 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
172, 16, 7lspsncl 16053 . . . . . . . . 9
1810, 12, 17syl2anc 643 . . . . . . . 8
19183ad2ant1 978 . . . . . . 7 Scalar Scalar
2083ad2ant1 978 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
214lvecdrng 16177 . . . . . . . . 9 Scalar
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
23 simp2l 983 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
24 lspfixed.f . . . . . . . . . 10
25243ad2ant1 978 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
26 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar
27 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar Scalar Scalar
2827oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar Scalar Scalar
29 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar Scalar
3029, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar Scalar
3129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar Scalar
32 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
33 lspfixed.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17
342, 4, 6, 32, 33lmod0vs 15983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
3530, 31, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar Scalar Scalar
3628, 35eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar Scalar
3736oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar
38 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar Scalar
39123ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
402, 4, 6, 5lmodvscl 15967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
4115, 38, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar Scalar
432, 3, 33lmod0vlid 15980 . . . . . . . . . . . . . 14
4430, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar
4526, 37, 443eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar Scalar
4629, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar
47 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar Scalar
482, 7lspsnid 16069 . . . . . . . . . . . . . . 15
4910, 12, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
5029, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar
514, 6, 5, 16lssvscl 16031 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
5230, 46, 47, 50, 51syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar Scalar
5345, 52eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar Scalar
5453ex 424 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar Scalar
5554necon3bd 2638 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar
5625, 55mpd 15 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
57 eqid 2436 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
585, 32, 57drnginvrcl 15852 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
5922, 23, 56, 58syl3anc 1184 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar
60493ad2ant1 978 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
6115, 19, 38, 60, 51syl22anc 1185 . . . . . . 7 Scalar Scalar
624, 6, 5, 16lssvscl 16031 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
6315, 19, 59, 61, 62syl22anc 1185 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
645, 32, 57drnginvrn0 15853 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
6522, 23, 56, 64syl3anc 1184 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar
66 lspfixed.e . . . . . . . . . 10
67663ad2ant1 978 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
68 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar
69 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
702, 4, 6, 32, 33lmod0vs 15983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
7115, 39, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar Scalar
7269, 71sylan9eqr 2490 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar Scalar
7372oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar
74113ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
752, 4, 6, 5lmodvscl 15967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
7615, 23, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
772, 3, 33lmod0vrid 15981 . . . . . . . . . . . . . . 15
7815, 76, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
7978adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar
8068, 73, 793eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar Scalar
812, 16, 7lspsncl 16053 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8210, 11, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
83823ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
842, 7lspsnid 16069 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8510, 11, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
86853ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
874, 6, 5, 16lssvscl 16031 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
8815, 83, 23, 86, 87syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
8988adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar Scalar
9080, 89eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar Scalar
9190ex 424 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar Scalar
9291necon3bd 2638 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar
9367, 92mpd 15 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
94 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
9594, 1syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
96 preq2 3884 . . . . . . . . . . . . . 14
9796fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13
982, 33, 7, 15, 74lsppr0 16164 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
9997, 98sylan9eqr 2490 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
10095, 99eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
101100ex 424 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
102101necon3bd 2638 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
10367, 102mpd 15 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
1042, 6, 4, 5, 32, 33, 20, 38, 39lvecvsn0 16181 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
10593, 103, 104mpbir2and 889 . . . . . . 7 Scalar Scalar
1062, 6, 4, 5, 32, 33, 20, 59, 41lvecvsn0 16181 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
10765, 105, 106mpbir2and 889 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
108 eldifsn 3927 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
10963, 107, 108sylanbrc 646 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
110 simp3 959 . . . . . . 7 Scalar Scalar
1112, 3lmodvacl 15964 . . . . . . . . 9
11215, 76, 41, 111syl3anc 1184 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
1132, 7lspsnid 16069 . . . . . . . 8
11415, 112, 113syl2anc 643 . . . . . . 7 Scalar Scalar
115110, 114eqeltrd 2510 . . . . . 6 Scalar Scalar
1162, 4, 6, 5, 32, 7lspsnvs 16186 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
11720, 59, 65, 112, 116syl121anc 1189 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
1182, 3, 4, 6, 5lmodvsdi 15973 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
11915, 59, 76, 41, 118syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
120 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
121 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
1225, 32, 120, 121, 57drnginvrl 15854 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
12322, 23, 56, 122syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
124123oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
1252, 4, 6, 5, 120lmodvsass 15975 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
12615, 59, 23, 74, 125syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
1272, 4, 6, 121lmodvs1 15978 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
12815, 74, 127syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar Scalar
129124, 126, 1283eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar Scalar
130129oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
131119, 130eqtrd 2468 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar Scalar
132131sneqd 3827 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar
133132fveq2d 5732 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar
134117, 133eqtr3d 2470 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
135115, 134eleqtrd 2512 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
136 oveq2 6089 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
137136sneqd 3827 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
138137fveq2d 5732 . . . . . . 7 Scalar Scalar
139138eleq2d 2503 . . . . . 6 Scalar Scalar
140139rspcev 3052 . . . . 5 Scalar Scalar
141109, 135, 140syl2anc 643 . . . 4 Scalar Scalar
1421413exp 1152 . . 3 Scalar Scalar
143142rexlimdvv 2836 . 2 Scalar Scalar
14414, 143mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706   cdif 3317  csn 3814  cpr 3815  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  cmulr 13530  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  c0g 13723  cur 15662  cinvr 15776  cdr 15835  clmod 15950  clss 16008  clspn 16047  clvec 16174 This theorem is referenced by:  lsatfixedN  29807 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175
 Copyright terms: Public domain W3C validator