Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspfval Structured version   Unicode version

Theorem lspfval 16054
 Description: The span function for a left vector space (or a left module). (df-span 22816 analog.) (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v
lspval.s
lspval.n
Assertion
Ref Expression
lspfval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem lspfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspval.n . 2
2 elex 2966 . . 3
3 fveq2 5731 . . . . . . 7
4 lspval.v . . . . . . 7
53, 4syl6eqr 2488 . . . . . 6
65pweqd 3806 . . . . 5
7 fveq2 5731 . . . . . . . 8
8 lspval.s . . . . . . . 8
97, 8syl6eqr 2488 . . . . . . 7
10 rabeq 2952 . . . . . . 7
119, 10syl 16 . . . . . 6
1211inteqd 4057 . . . . 5
136, 12mpteq12dv 4290 . . . 4
14 df-lsp 16053 . . . 4
15 fvex 5745 . . . . . . 7
164, 15eqeltri 2508 . . . . . 6
1716pwex 4385 . . . . 5
1817mptex 5969 . . . 4
1913, 14, 18fvmpt 5809 . . 3
202, 19syl 16 . 2
211, 20syl5eq 2482 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726  crab 2711  cvv 2958   wss 3322  cpw 3801  cint 4052   cmpt 4269  cfv 5457  cbs 13474  clss 16013  clspn 16052 This theorem is referenced by:  lspf  16055  lspval  16056  00lsp  16062  mrclsp  16070  lsppropd  16099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-lsp 16053
 Copyright terms: Public domain W3C validator