MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp1 Unicode version

Theorem lspindp1 15886
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (swap 1st and 2nd). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp1.y  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspindp1.z  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindp1.x  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindp1.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lspindp1.e  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) ) )

Proof of Theorem lspindp1
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspindp1.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lspindp1.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lspindp1.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
5 lspindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 eldifi 3298 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 lspindp1.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
9 lspindp1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
101, 2, 3, 4, 7, 8, 9lspindpi 15885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
1110simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
12 lspindp1.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
133adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
145adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
154adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Z  e.  V
)
168adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Y  e.  V
)
17 lspindp1.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1817adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
19 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
201, 12, 2, 13, 14, 15, 16, 18, 19lspexch 15882 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
219, 20mtand 640 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
2211, 21jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   {csn 3640   {cpr 3641   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  lspindp2l  15887  lspindp2  15888  mapdindp3  31912  mapdindp4  31913  mapdheq4lem  31921  mapdheq4  31922  mapdh6lem1N  31923  mapdh6lem2N  31924  mapdh6aN  31925  mapdh6dN  31929  mapdh6eN  31930  mapdh6fN  31931  mapdh7dN  31940  hdmap1l6lem1  31998  hdmap1l6lem2  31999  hdmap1l6a  32000  hdmap1l6d  32004  hdmap1l6e  32005  hdmap1l6f  32006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856
  Copyright terms: Public domain W3C validator