MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp1 Unicode version

Theorem lspindp1 15935
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (swap 1st and 2nd). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp1.y  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspindp1.z  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindp1.x  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindp1.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lspindp1.e  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) ) )

Proof of Theorem lspindp1
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspindp1.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lspindp1.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lspindp1.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
5 lspindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 eldifi 3332 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 lspindp1.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
9 lspindp1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
101, 2, 3, 4, 7, 8, 9lspindpi 15934 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
1110simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
12 lspindp1.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
133adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
145adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
154adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Z  e.  V
)
168adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Y  e.  V
)
17 lspindp1.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1817adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
19 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
201, 12, 2, 13, 14, 15, 16, 18, 19lspexch 15931 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
219, 20mtand 640 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
2211, 21jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479    \ cdif 3183   {csn 3674   {cpr 3675   ` cfv 5292   Basecbs 13195   0gc0g 13449   LSpanclspn 15777   LVecclvec 15904
This theorem is referenced by:  lspindp2l  15936  lspindp2  15937  mapdindp3  31730  mapdindp4  31731  mapdheq4lem  31739  mapdheq4  31740  mapdh6lem1N  31741  mapdh6lem2N  31742  mapdh6aN  31743  mapdh6dN  31747  mapdh6eN  31748  mapdh6fN  31749  mapdh7dN  31758  hdmap1l6lem1  31816  hdmap1l6lem2  31817  hdmap1l6a  31818  hdmap1l6d  31822  hdmap1l6e  31823  hdmap1l6f  31824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-subg 14667  df-cntz 14842  df-lsm 14996  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-drng 15563  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lvec 15905
  Copyright terms: Public domain W3C validator