MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp2 Unicode version

Theorem lspindp2 16170
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (rotate right). (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspindp2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspindp2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindp2.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lspindp2.e  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  X } ) ) )

Proof of Theorem lspindp2
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . 2  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspindp1.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 lspindp1.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspindp1.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lspindp2.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 lspindp2.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
7 lspindp2.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 lspindp2.q . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
98necomd 2658 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { X } ) )
10 lspindp2.e . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
11 prcom 3850 . . . . 5  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
1211fveq2i 5698 . . . 4  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  X } )
1312eleq2i 2476 . . 3  |-  ( Z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  <->  Z  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
1410, 13sylnib 296 . 2  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 14lspindp1 16168 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  X } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575    \ cdif 3285   {csn 3782   {cpr 3783   ` cfv 5421   Basecbs 13432   0gc0g 13686   LSpanclspn 16010   LVecclvec 16137
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  32226  mapdheq4  32227  mapdh6lem1N  32228  mapdh6lem2N  32229  mapdh6aN  32230  hdmap1l6lem1  32303  hdmap1l6lem2  32304  hdmap1l6a  32305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-cntz 15079  df-lsm 15233  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-drng 15800  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011  df-lvec 16138
  Copyright terms: Public domain W3C validator