MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp2l Structured version   Unicode version

Theorem lspindp2l 16208
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (rotate left). (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp1.y  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspindp1.z  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindp1.x  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindp1.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lspindp1.e  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp2l  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )

Proof of Theorem lspindp2l
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspindp1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 lspindp1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lspindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 lspindp1.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 lspindp1.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 lspindp1.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
9 lspindp1.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lspindp1 16207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) ) )
1110simpld 447 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1211necomd 2689 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
1310simprd 451 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
14 prcom 3884 . . . . 5  |-  { Z ,  Y }  =  { Y ,  Z }
1514fveq2i 5733 . . . 4  |-  ( N `
 { Z ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  Z } )
1615eleq2i 2502 . . 3  |-  ( X  e.  ( N `  { Z ,  Y }
)  <->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
1713, 16sylnib 297 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
1812, 17jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319   {csn 3816   {cpr 3817   ` cfv 5456   Basecbs 13471   0gc0g 13725   LSpanclspn 16049   LVecclvec 16176
This theorem is referenced by:  mapdh8e  32644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177
  Copyright terms: Public domain W3C validator