MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp3 Structured version   Unicode version

Theorem lspindp3 16239
Description: Independence of 2 vectors is preserved by vector sum. (Contributed by NM, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspindp3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspindp3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspindp3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspindp3.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem lspindp3
StepHypRef Expression
1 lspindp3.e . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2 lspindp3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lspindp3.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
4 lspindp3.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 lspindp3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 lspindp3.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
76adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )  ->  W  e.  LVec )
8 lspindp3.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
98adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )  ->  X  e.  V )
10 lspindp3.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
12 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )
132, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12lspabs2 16223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
1413ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  -> 
( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
1514necon3d 2645 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
161, 15mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605    \ cdif 3303   {csn 3838   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   +g cplusg 13560   0gc0g 13754   LSpanclspn 16078   LVecclvec 16205
This theorem is referenced by:  mapdindp4  32619  hdmaprnlem3uN  32750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-subg 14972  df-cntz 15147  df-lsm 15301  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-oppr 15759  df-dvdsr 15777  df-unit 15778  df-invr 15808  df-drng 15868  df-lmod 15983  df-lss 16040  df-lsp 16079  df-lvec 16206
  Copyright terms: Public domain W3C validator