MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindpi Unicode version

Theorem lspindpi 16192
Description: Partial independence property. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindpi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindpi.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindpi.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindpi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspindpi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindpi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindpi.e  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindpi  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )

Proof of Theorem lspindpi
StepHypRef Expression
1 lspindpi.e . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
2 lspindpi.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 lveclmod 16166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
65lsssssubg 16022 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
74, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
8 lspindpi.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
9 lspindpi.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 lspindpi.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( LSpan `  W )
119, 5, 10lspsncl 16041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
124, 8, 11syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
137, 12sseldd 3341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lspindpi.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
159, 5, 10lspsncl 16041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
164, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
177, 16sseldd 3341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
18 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
1918lsmub1 15278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( N `  { Y } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
2013, 17, 19syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
219, 10, 18, 4, 8, 14lsmpr 16149 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  =  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
2220, 21sseqtr4d 3377 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
23 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  (
( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { Y } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2422, 23syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
259, 5, 10, 4, 8, 14lspprcl 16042 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
26 lspindpi.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
279, 5, 10, 4, 25, 26lspsnel5 16059 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2824, 27sylibrd 226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2928necon3bd 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
301, 29mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
3118lsmub2 15279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( N `  { Z } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
3213, 17, 31syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
3332, 21sseqtr4d 3377 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
34 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  (
( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { Z } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
3533, 34syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
3635, 27sylibrd 226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
3736necon3bd 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
381, 37mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3930, 38jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    C_ wss 3312   {csn 3806   {cpr 3807   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457  SubGrpcsubg 14926   LSSumclsm 15256   LModclmod 15938   LSubSpclss 15996   LSpanclspn 16035   LVecclvec 16162
This theorem is referenced by:  lspindp1  16193  baerlem5amN  32353  baerlem5bmN  32354  baerlem5abmN  32355  mapdindp4  32360  mapdh6bN  32374  mapdh6cN  32375  mapdh6dN  32376  mapdh6eN  32377  mapdh6fN  32378  mapdh6hN  32380  mapdh7eN  32385  mapdh7dN  32387  mapdh7fN  32388  mapdh75fN  32392  mapdh8aa  32413  mapdh8ab  32414  mapdh8ad  32416  mapdh8c  32418  mapdh8d0N  32419  mapdh8d  32420  mapdh8e  32421  mapdh9a  32427  mapdh9aOLDN  32428  hdmap1eq4N  32444  hdmap1l6b  32449  hdmap1l6c  32450  hdmap1l6d  32451  hdmap1l6e  32452  hdmap1l6f  32453  hdmap1l6h  32455  hdmap1eulemOLDN  32462  hdmapval0  32473  hdmapval3lemN  32477  hdmap10lem  32479  hdmap11lem1  32481  hdmap14lem11  32518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-0g 13715  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-subg 14929  df-cntz 15104  df-lsm 15258  df-cmn 15402  df-abl 15403  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-ur 15653  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-lvec 16163
  Copyright terms: Public domain W3C validator