MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindpi Structured version   Unicode version

Theorem lspindpi 16209
Description: Partial independence property. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindpi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindpi.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindpi.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindpi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspindpi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindpi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindpi.e  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindpi  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )

Proof of Theorem lspindpi
StepHypRef Expression
1 lspindpi.e . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
2 lspindpi.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 lveclmod 16183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
65lsssssubg 16039 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
74, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
8 lspindpi.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
9 lspindpi.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 lspindpi.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( LSpan `  W )
119, 5, 10lspsncl 16058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
124, 8, 11syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
137, 12sseldd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lspindpi.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
159, 5, 10lspsncl 16058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
164, 14, 15syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
177, 16sseldd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
18 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
1918lsmub1 15295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( N `  { Y } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
2013, 17, 19syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
219, 10, 18, 4, 8, 14lsmpr 16166 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  =  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
2220, 21sseqtr4d 3387 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
23 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  (
( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { Y } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2422, 23syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
259, 5, 10, 4, 8, 14lspprcl 16059 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
26 lspindpi.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
279, 5, 10, 4, 25, 26lspsnel5 16076 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2824, 27sylibrd 227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2928necon3bd 2640 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
301, 29mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
3118lsmub2 15296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( N `  { Z } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
3213, 17, 31syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
3332, 21sseqtr4d 3387 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
34 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  (
( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { Z } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
3533, 34syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
3635, 27sylibrd 227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
3736necon3bd 2640 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
381, 37mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3930, 38jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    C_ wss 3322   {csn 3816   {cpr 3817   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474  SubGrpcsubg 14943   LSSumclsm 15273   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   LSpanclspn 16052   LVecclvec 16179
This theorem is referenced by:  lspindp1  16210  baerlem5amN  32588  baerlem5bmN  32589  baerlem5abmN  32590  mapdindp4  32595  mapdh6bN  32609  mapdh6cN  32610  mapdh6dN  32611  mapdh6eN  32612  mapdh6fN  32613  mapdh6hN  32615  mapdh7eN  32620  mapdh7dN  32622  mapdh7fN  32623  mapdh75fN  32627  mapdh8aa  32648  mapdh8ab  32649  mapdh8ad  32651  mapdh8c  32653  mapdh8d0N  32654  mapdh8d  32655  mapdh8e  32656  mapdh9a  32662  mapdh9aOLDN  32663  hdmap1eq4N  32679  hdmap1l6b  32684  hdmap1l6c  32685  hdmap1l6d  32686  hdmap1l6e  32687  hdmap1l6f  32688  hdmap1l6h  32690  hdmap1eulemOLDN  32697  hdmapval0  32708  hdmapval3lemN  32712  hdmap10lem  32714  hdmap11lem1  32716  hdmap14lem11  32753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180
  Copyright terms: Public domain W3C validator