MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr Unicode version

Theorem lsppr 15846
Description: Span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 22-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsppr.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lsppr.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lsppr.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lsppr.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lsppr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsppr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsppr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsppr.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsppr  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X
)  .+  ( l  .x.  Y ) ) } )
Distinct variable groups:    k, l,  .+    k, F, l    k, K, l    v, k, N, l    .x. , k, l    k, V, l    k, W, l, v    k, X, l, v    k, Y, l, v    ph, k, l, v
Allowed substitution hints:    .+ ( v)    .x. ( v)    F( v)    K( v)    V( v)

Proof of Theorem lsppr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3647 . . 3  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
21fveq2i 5528 . 2  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )
3 lsppr.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lsppr.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
54snssd 3760 . . . 4  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
6 lsppr.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
76snssd 3760 . . . 4  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
8 lsppr.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 lsppr.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
108, 9lspun 15744 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V  /\  { Y }  C_  V
)  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `
 ( ( N `
 { X }
)  u.  ( N `
 { Y }
) ) ) )
113, 5, 7, 10syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
12 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
138, 12, 9lspsncl 15734 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
143, 4, 13syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
158, 12, 9lspsncl 15734 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
163, 6, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
17 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
1812, 9, 17lsmsp 15839 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
193, 14, 16, 18syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
20 lsppr.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
21 lsppr.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
22 lsppr.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
23 lsppr.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
248, 20, 21, 22, 23, 17, 9, 3, 4, 6lsmspsn 15837 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) )  <->  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) ) )
2524abbi2dv 2398 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) ) } )
2611, 19, 253eqtr2d 2321 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) ) } )
272, 26syl5eq 2327 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X
)  .+  ( l  .x.  Y ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   LSSumclsm 14945   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728
This theorem is referenced by:  lspprel  15847
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729
  Copyright terms: Public domain W3C validator