MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr Unicode version

Theorem lsppr 15862
Description: Span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 22-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsppr.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lsppr.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lsppr.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lsppr.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lsppr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsppr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsppr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsppr.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsppr  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X
)  .+  ( l  .x.  Y ) ) } )
Distinct variable groups:    k, l,  .+    k, F, l    k, K, l    v, k, N, l    .x. , k, l    k, V, l    k, W, l, v    k, X, l, v    k, Y, l, v    ph, k, l, v
Allowed substitution hints:    .+ ( v)    .x. ( v)    F( v)    K( v)    V( v)

Proof of Theorem lsppr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3660 . . 3  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
21fveq2i 5544 . 2  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )
3 lsppr.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lsppr.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
54snssd 3776 . . . 4  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
6 lsppr.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
76snssd 3776 . . . 4  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
8 lsppr.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 lsppr.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
108, 9lspun 15760 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V  /\  { Y }  C_  V
)  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `
 ( ( N `
 { X }
)  u.  ( N `
 { Y }
) ) ) )
113, 5, 7, 10syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
12 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
138, 12, 9lspsncl 15750 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
143, 4, 13syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
158, 12, 9lspsncl 15750 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
163, 6, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
17 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
1812, 9, 17lsmsp 15855 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
193, 14, 16, 18syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
20 lsppr.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
21 lsppr.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
22 lsppr.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
23 lsppr.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
248, 20, 21, 22, 23, 17, 9, 3, 4, 6lsmspsn 15853 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) )  <->  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) ) )
2524abbi2dv 2411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) ) } )
2611, 19, 253eqtr2d 2334 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) ) } )
272, 26syl5eq 2340 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X
)  .+  ( l  .x.  Y ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   LSSumclsm 14961   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744
This theorem is referenced by:  lspprel  15863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745
  Copyright terms: Public domain W3C validator