MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr Structured version   Unicode version

Theorem lsppr 16165
Description: Span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 22-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsppr.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lsppr.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lsppr.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lsppr.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lsppr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsppr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsppr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsppr.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsppr  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X
)  .+  ( l  .x.  Y ) ) } )
Distinct variable groups:    k, l,  .+    k, F, l    k, K, l    v, k, N, l    .x. , k, l    k, V, l    k, W, l, v    k, X, l, v    k, Y, l, v    ph, k, l, v
Allowed substitution hints:    .+ ( v)    .x. ( v)    F( v)    K( v)    V( v)

Proof of Theorem lsppr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3821 . . 3  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
21fveq2i 5731 . 2  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )
3 lsppr.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lsppr.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
54snssd 3943 . . . 4  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
6 lsppr.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
76snssd 3943 . . . 4  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
8 lsppr.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 lsppr.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
108, 9lspun 16063 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V  /\  { Y }  C_  V
)  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `
 ( ( N `
 { X }
)  u.  ( N `
 { Y }
) ) ) )
113, 5, 7, 10syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
12 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
138, 12, 9lspsncl 16053 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
143, 4, 13syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
158, 12, 9lspsncl 16053 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
163, 6, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
17 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
1812, 9, 17lsmsp 16158 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
193, 14, 16, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
20 lsppr.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
21 lsppr.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
22 lsppr.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
23 lsppr.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
248, 20, 21, 22, 23, 17, 9, 3, 4, 6lsmspsn 16156 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) )  <->  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) ) )
2524abbi2dv 2551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) ) } )
2611, 19, 253eqtr2d 2474 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) ) } )
272, 26syl5eq 2480 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X
)  .+  ( l  .x.  Y ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   E.wrex 2706    u. cun 3318    C_ wss 3320   {csn 3814   {cpr 3815   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   LSSumclsm 15268   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008   LSpanclspn 16047
This theorem is referenced by:  lspprel  16166
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048
  Copyright terms: Public domain W3C validator