Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Unicode version

Theorem lspprat 16116
 Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v
lspprat.s
lspprat.n
lspprat.w
lspprat.u
lspprat.x
lspprat.y
lspprat.p
Assertion
Ref Expression
lspprat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 3601 . . 3
2 lspprat.w . . . . . . . 8
3 lveclmod 16069 . . . . . . . 8
42, 3syl 15 . . . . . . 7
5 lspprat.v . . . . . . . 8
6 eqid 2366 . . . . . . . 8
75, 6lmod0vcl 15869 . . . . . . 7
84, 7syl 15 . . . . . 6
98adantr 451 . . . . 5
10 simpr 447 . . . . . . 7
11 lspprat.u . . . . . . . . 9
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10
136, 12lss0ss 15916 . . . . . . . . 9
144, 11, 13syl2anc 642 . . . . . . . 8
1514adantr 451 . . . . . . 7
1610, 15eqssd 3282 . . . . . 6
17 lspprat.n . . . . . . . . 9
186, 17lspsn0 15975 . . . . . . . 8
194, 18syl 15 . . . . . . 7
2019adantr 451 . . . . . 6
2116, 20eqtr4d 2401 . . . . 5
22 sneq 3740 . . . . . . . 8
2322fveq2d 5636 . . . . . . 7
2423eqeq2d 2377 . . . . . 6
2524rspcev 2969 . . . . 5
269, 21, 25syl2anc 642 . . . 4
2726ex 423 . . 3
281, 27syl5bir 209 . 2
29 difss 3390 . . . . . . 7
305, 12lssss 15904 . . . . . . . 8
3111, 30syl 15 . . . . . . 7
3229, 31syl5ss 3276 . . . . . 6
3332sseld 3265 . . . . 5
34 lspprat.x . . . . . 6
35 lspprat.y . . . . . 6
36 lspprat.p . . . . . 6
375, 12, 17, 2, 11, 34, 35, 36, 6lsppratlem6 16115 . . . . 5
3833, 37jcad 519 . . . 4
3938eximdv 1627 . . 3
40 n0 3552 . . 3
41 df-rex 2634 . . 3
4239, 40, 413imtr4g 261 . 2
4328, 42pm2.61dne 2606 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358  wex 1546   wceq 1647   wcel 1715   wne 2529  wrex 2629   cdif 3235   wss 3238   wpss 3239  c0 3543  csn 3729  cpr 3730  cfv 5358  cbs 13356  c0g 13610  clmod 15837  clss 15899  clspn 15938  clvec 16065 This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  31698 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-drng 15724  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-lvec 16066
 Copyright terms: Public domain W3C validator