MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem1 Structured version   Unicode version

Theorem lsppratlem1 16211
Description: Lemma for lspprat 16217. Let  x  e.  ( U  \  { 0 } ) (if there is no such  x then  U is the zero subspace), and let  y  e.  ( U  \  ( N `
 { x }
) ) (assuming the conclusion is false). The goal is to write  X,  Y in terms of  x,  y, which would normally be done by solving the system of linear equations. The span equivalent of this process is lspsolv 16207 (hence the name), which we use extensively below. In this lemma, we show that since  x  e.  ( N `  { X ,  Y } ), either  x  e.  ( N `  { Y } ) or  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ). (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  { Y } )  \/  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )

Proof of Theorem lsppratlem1
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
3 lspprat.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
43snssd 3935 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  { Y }  C_  V
)
6 lspprat.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
76adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  V )
8 lspprat.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
98pssssd 3436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
10 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  x  e.  U )
129, 11sseldd 3341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
13 prcom 3874 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
14 df-pr 3813 . . . . . . . . . 10  |-  { Y ,  X }  =  ( { Y }  u.  { X } )
1513, 14eqtri 2455 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y }  =  ( { Y }  u.  { X } )
1615fveq2i 5723 . . . . . . . 8  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )
1712, 16syl6eleq 2525 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 ( { Y }  u.  { X } ) ) )
1817anim1i 552 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  -> 
( x  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) ) )
19 eldif 3322 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( N `
 ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) )  <->  ( x  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) ) )
2018, 19sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  x  e.  ( ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) ) )
21 lspprat.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
22 lspprat.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
23 lspprat.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2421, 22, 23lspsolv 16207 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { Y }  C_  V  /\  X  e.  V  /\  x  e.  (
( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { Y }  u.  {
x } ) ) )
252, 5, 7, 20, 24syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { x } ) ) )
26 df-pr 3813 . . . . . 6  |-  { Y ,  x }  =  ( { Y }  u.  { x } )
27 prcom 3874 . . . . . 6  |-  { Y ,  x }  =  {
x ,  Y }
2826, 27eqtr3i 2457 . . . . 5  |-  ( { Y }  u.  {
x } )  =  { x ,  Y }
2928fveq2i 5723 . . . 4  |-  ( N `
 ( { Y }  u.  { x } ) )  =  ( N `  {
x ,  Y }
)
3025, 29syl6eleq 2525 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )
3130ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  { Y } )  ->  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )
3231orrd 368 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  { Y } )  \/  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312    C. wpss 3313   {csn 3806   {cpr 3807   ` cfv 5446   Basecbs 13461   0gc0g 13715   LSubSpclss 16000   LSpanclspn 16039   LVecclvec 16166
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  16215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167
  Copyright terms: Public domain W3C validator