MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem3 Unicode version

Theorem lsppratlem3 16141
Description: Lemma for lspprat 16145. In the first case of lsppratlem1 16139, since  x  e/  ( N `  (/) ), also  Y  e.  ( N `  {
x } ), and since  y  e.  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { X ,  x } ) and  y  e/  ( N `  { x } ), we have  X  e.  ( N `  { x ,  y } ) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
lsppratlem3.x3  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { Y }
) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem3
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16098 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspprat.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
54snssd 3879 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
6 lspprat.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lspprat.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
86, 7lspssv 15979 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { Y }  C_  V )  ->  ( N `  { Y } )  C_  V )
93, 5, 8syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  V
)
10 lsppratlem3.x3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { Y }
) )
119, 10sseldd 3285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
1211snssd 3879 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x }  C_  V )
13 lspprat.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 lspprat.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
1514pssssd 3380 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
1613snssd 3879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
1712, 16unssd 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { X } ) 
C_  V )
18 lspprat.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
196, 18, 7lspcl 15972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V )  ->  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) )  e.  S )
203, 17, 19syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) )  e.  S )
21 df-pr 3757 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
226, 7lspssid 15981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V )  ->  ( { x }  u.  { X } )  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
233, 17, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { X } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
2423unssbd 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
25 ssun1 3446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } )
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } ) )
276, 7lspss 15980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V  /\  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } ) )  ->  ( N `  { x } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
283, 17, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
29 0ss 3592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  C_  V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  V )
31 uncom 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  u. 
{ Y } )  =  ( { Y }  u.  (/) )
32 un0 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { Y }  u.  (/) )  =  { Y }
3331, 32eqtri 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  u. 
{ Y } )  =  { Y }
3433fveq2i 5664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N `
 ( (/)  u.  { Y } ) )  =  ( N `  { Y } )
3510, 34syl6eleqr 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 ( (/)  u.  { Y } ) ) )
36 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
3736eldifbd 3269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  {  .0.  } )
38 lsppratlem1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3938, 7lsp0 16005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 (/) )  =  {  .0.  } )
403, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  (/) )  =  {  .0.  } )
4137, 40neleqtrrd 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( N `  (/) ) )
4235, 41eldifd 3267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( N `  ( (/)  u. 
{ Y } ) )  \  ( N `
 (/) ) ) )
436, 18, 7lspsolv 16135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( (/)  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  x  e.  ( ( N `  ( (/)  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  (/) ) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( (/) 
u.  { x }
) ) )
441, 30, 4, 42, 43syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( (/)  u.  {
x } ) ) )
45 uncom 3427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  u. 
{ x } )  =  ( { x }  u.  (/) )
46 un0 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x }  u.  (/) )  =  { x }
4745, 46eqtri 2400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ x } )  =  { x }
4847fveq2i 5664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( (/)  u.  {
x } ) )  =  ( N `  { x } )
4944, 48syl6eleq 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x }
) )
5028, 49sseldd 3285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { X } ) ) )
5150snssd 3879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5224, 51unssd 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5321, 52syl5eqss 3328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5418, 7lspssp 15984 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) )  e.  S  /\  { X ,  Y }  C_  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
553, 20, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5615, 55sstrd 3294 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5756ssdifd 3419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  ( ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) )
58 lsppratlem1.y2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
5957, 58sseldd 3285 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( N `  ( { x }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
606, 18, 7lspsolv 16135 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { x }  C_  V  /\  X  e.  V  /\  y  e.  (
( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) ) )
611, 12, 13, 59, 60syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { y } ) ) )
62 df-pr 3757 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
6362fveq2i 5664 . . 3  |-  ( N `
 { x ,  y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) )
6461, 63syl6eleqr 2471 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
65 lspprat.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
666, 18lssss 15933 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
6867ssdifssd 3421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  V )
6968, 58sseldd 3285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  y  e.  V )
7069snssd 3879 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { y }  C_  V )
7112, 70unssd 3459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { y } ) 
C_  V )
7262, 71syl5eqss 3328 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  V )
73 snsspr1 3883 . . . . 5  |-  { x }  C_  { x ,  y }
7473a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x }  C_  { x ,  y } )
756, 7lspss 15980 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  y } 
C_  V  /\  {
x }  C_  { x ,  y } )  ->  ( N `  { x } ) 
C_  ( N `  { x ,  y } ) )
763, 72, 74, 75syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
7776, 49sseldd 3285 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
7864, 77jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3253    u. cun 3254    C_ wss 3256    C. wpss 3257   (/)c0 3564   {csn 3750   {cpr 3751   ` cfv 5387   Basecbs 13389   0gc0g 13643   LModclmod 15870   LSubSpclss 15928   LSpanclspn 15967   LVecclvec 16094
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  16143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-drng 15757  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-lvec 16095
  Copyright terms: Public domain W3C validator