MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem4 Unicode version

Theorem lsppratlem4 16149
Description: Lemma for lspprat 16152. In the second case of lsppratlem1 16146,  y  e.  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  Y } ) and  y  e/  ( N `  { x } ) implies  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) and thus  X  e.  ( N `  { x ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
lsppratlem4.x3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem4
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16105 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspprat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspprat.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
6 lspprat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
7 lspprat.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
84, 5lssss 15940 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
109ssdifssd 3428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  {  .0.  } )  C_  V
)
11 lsppratlem1.x2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1210, 11sseldd 3292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
139ssdifssd 3428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  V )
14 lsppratlem1.y2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
1513, 14sseldd 3292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  V )
164, 5, 6, 3, 12, 15lspprcl 15981 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  y } )  e.  S )
17 df-pr 3764 . . . . 5  |-  { x ,  Y }  =  ( { x }  u.  { Y } )
18 snsspr1 3890 . . . . . . 7  |-  { x }  C_  { x ,  y }
19 prssi 3897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  { x ,  y }  C_  V )
2012, 15, 19syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  V )
214, 6lspssid 15988 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  y } 
C_  V )  ->  { x ,  y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
223, 20, 21syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
2318, 22syl5ss 3302 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
2412snssd 3886 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x }  C_  V )
25 lspprat.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
26 lspprat.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
2726pssssd 3387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
284, 5, 6, 3, 12, 25lspprcl 15981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  Y }
)  e.  S )
29 df-pr 3764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
30 lsppratlem4.x3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  Y } ) )
3130snssd 3886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
32 snsspr2 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { Y }  C_  { x ,  Y }
33 prssi 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { x ,  Y }  C_  V )
3412, 25, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  V )
354, 6lspssid 15988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  Y }  C_  V )  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
363, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
3732, 36syl5ss 3302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
3831, 37unssd 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
3929, 38syl5eqss 3335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
405, 6lspssp 15991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { x ,  Y } )  e.  S  /\  { X ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
413, 28, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4227, 41sstrd 3301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4317fveq2i 5671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 { x ,  Y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )
4442, 43syl6sseq 3337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) )
4544ssdifd 3426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  ( ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) )
4645, 14sseldd 3292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
474, 5, 6lspsolv 16142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { x }  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  y  e.  (
( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) ) )
481, 24, 25, 46, 47syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { y } ) ) )
49 df-pr 3764 . . . . . . . . 9  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
5049fveq2i 5671 . . . . . . . 8  |-  ( N `
 { x ,  y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) )
5148, 50syl6eleqr 2478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
5251snssd 3886 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5323, 52unssd 3466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5417, 53syl5eqss 3335 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
555, 6lspssp 15991 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { x ,  y } )  e.  S  /\  {
x ,  Y }  C_  ( N `  {
x ,  y } ) )  ->  ( N `  { x ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
563, 16, 54, 55syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5756, 30sseldd 3292 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
5857, 51jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3260    u. cun 3261    C_ wss 3263    C. wpss 3264   {csn 3757   {cpr 3758   ` cfv 5394   Basecbs 13396   0gc0g 13650   LModclmod 15877   LSubSpclss 15935   LSpanclspn 15974   LVecclvec 16101
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  16150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-drng 15764  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-lvec 16102
  Copyright terms: Public domain W3C validator