MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem4 Unicode version

Theorem lsppratlem4 15903
Description: Lemma for lspprat 15906. In the second case of lsppratlem1 15900,  y  e.  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  Y } ) and  y  e/  ( N `  { x } ) implies  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) and thus  X  e.  ( N `  { x ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
lsppratlem4.x3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem4
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15859 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspprat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspprat.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
6 lspprat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
7 difss 3303 . . . . . . 7  |-  ( U 
\  {  .0.  }
)  C_  U
8 lspprat.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
94, 5lssss 15694 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
117, 10syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  {  .0.  } )  C_  V
)
12 lsppratlem1.x2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1311, 12sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
14 difss 3303 . . . . . . 7  |-  ( U 
\  ( N `  { x } ) )  C_  U
1514, 10syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  V )
16 lsppratlem1.y2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
1715, 16sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  V )
184, 5, 6, 3, 13, 17lspprcl 15735 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  y } )  e.  S )
19 df-pr 3647 . . . . 5  |-  { x ,  Y }  =  ( { x }  u.  { Y } )
20 snsspr1 3764 . . . . . . 7  |-  { x }  C_  { x ,  y }
21 prssi 3771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  { x ,  y }  C_  V )
2213, 17, 21syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  V )
234, 6lspssid 15742 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  y } 
C_  V )  ->  { x ,  y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
243, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
2520, 24syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
2613snssd 3760 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x }  C_  V )
27 lspprat.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
28 lspprat.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
2928pssssd 3273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
304, 5, 6, 3, 13, 27lspprcl 15735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  Y }
)  e.  S )
31 df-pr 3647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
32 lsppratlem4.x3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  Y } ) )
3332snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
34 snsspr2 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { Y }  C_  { x ,  Y }
35 prssi 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { x ,  Y }  C_  V )
3613, 27, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  V )
374, 6lspssid 15742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  Y }  C_  V )  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
383, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
3934, 38syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4033, 39unssd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4131, 40syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
425, 6lspssp 15745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { x ,  Y } )  e.  S  /\  { X ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
433, 30, 41, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4429, 43sstrd 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4519fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 { x ,  Y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )
4644, 45syl6sseq 3224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) )
47 ssdif 3311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )  ->  ( U  \ 
( N `  {
x } ) ) 
C_  ( ( N `
 ( { x }  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  ( ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) )
4948, 16sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
504, 5, 6lspsolv 15896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { x }  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  y  e.  (
( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) ) )
511, 26, 27, 49, 50syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { y } ) ) )
52 df-pr 3647 . . . . . . . . 9  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
5352fveq2i 5528 . . . . . . . 8  |-  ( N `
 { x ,  y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) )
5451, 53syl6eleqr 2374 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
5554snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5625, 55unssd 3351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5719, 56syl5eqss 3222 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
585, 6lspssp 15745 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { x ,  y } )  e.  S  /\  {
x ,  Y }  C_  ( N `  {
x ,  y } ) )  ->  ( N `  { x ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
593, 18, 57, 58syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
6059, 32sseldd 3181 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
6160, 54jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152    C. wpss 3153   {csn 3640   {cpr 3641   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  15904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856
  Copyright terms: Public domain W3C validator