MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem4 Unicode version

Theorem lsppratlem4 15919
Description: Lemma for lspprat 15922. In the second case of lsppratlem1 15916,  y  e.  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  Y } ) and  y  e/  ( N `  { x } ) implies  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) and thus  X  e.  ( N `  { x ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
lsppratlem4.x3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem4
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15875 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspprat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspprat.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
6 lspprat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
7 difss 3316 . . . . . . 7  |-  ( U 
\  {  .0.  }
)  C_  U
8 lspprat.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
94, 5lssss 15710 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
117, 10syl5ss 3203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  {  .0.  } )  C_  V
)
12 lsppratlem1.x2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1311, 12sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
14 difss 3316 . . . . . . 7  |-  ( U 
\  ( N `  { x } ) )  C_  U
1514, 10syl5ss 3203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  V )
16 lsppratlem1.y2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
1715, 16sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  V )
184, 5, 6, 3, 13, 17lspprcl 15751 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  y } )  e.  S )
19 df-pr 3660 . . . . 5  |-  { x ,  Y }  =  ( { x }  u.  { Y } )
20 snsspr1 3780 . . . . . . 7  |-  { x }  C_  { x ,  y }
21 prssi 3787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  { x ,  y }  C_  V )
2213, 17, 21syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  V )
234, 6lspssid 15758 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  y } 
C_  V )  ->  { x ,  y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
243, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
2520, 24syl5ss 3203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
2613snssd 3776 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x }  C_  V )
27 lspprat.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
28 lspprat.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
2928pssssd 3286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
304, 5, 6, 3, 13, 27lspprcl 15751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  Y }
)  e.  S )
31 df-pr 3660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
32 lsppratlem4.x3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  Y } ) )
3332snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
34 snsspr2 3781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { Y }  C_  { x ,  Y }
35 prssi 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { x ,  Y }  C_  V )
3613, 27, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  V )
374, 6lspssid 15758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  Y }  C_  V )  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
383, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
3934, 38syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4033, 39unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4131, 40syl5eqss 3235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
425, 6lspssp 15761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { x ,  Y } )  e.  S  /\  { X ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
433, 30, 41, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4429, 43sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4519fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 { x ,  Y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )
4644, 45syl6sseq 3237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) )
47 ssdif 3324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )  ->  ( U  \ 
( N `  {
x } ) ) 
C_  ( ( N `
 ( { x }  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  ( ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) )
4948, 16sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
504, 5, 6lspsolv 15912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { x }  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  y  e.  (
( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) ) )
511, 26, 27, 49, 50syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { y } ) ) )
52 df-pr 3660 . . . . . . . . 9  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
5352fveq2i 5544 . . . . . . . 8  |-  ( N `
 { x ,  y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) )
5451, 53syl6eleqr 2387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
5554snssd 3776 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5625, 55unssd 3364 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5719, 56syl5eqss 3235 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
585, 6lspssp 15761 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { x ,  y } )  e.  S  /\  {
x ,  Y }  C_  ( N `  {
x ,  y } ) )  ->  ( N `  { x ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
593, 18, 57, 58syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
6059, 32sseldd 3194 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
6160, 54jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165    C. wpss 3166   {csn 3653   {cpr 3654   ` cfv 5271   Basecbs 13164   0gc0g 13416   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  15920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator