MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem5 Unicode version

Theorem lsppratlem5 16143
Description: Lemma for lspprat 16145. Combine the two cases and show a contradiction to  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) under the assumptions on  x and  y. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  U )

Proof of Theorem lsppratlem5
StepHypRef Expression
1 lspprat.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspprat.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspprat.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspprat.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
6 lspprat.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  U  e.  S )
8 lspprat.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
98adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  V )
10 lspprat.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1110adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  Y  e.  V )
12 lspprat.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
14 lsppratlem1.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
15 lsppratlem1.x2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1615adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
17 lsppratlem1.y2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
1817adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  -> 
y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
19 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  x  e.  ( N `  { Y } ) )
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19lsppratlem3 16141 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  -> 
( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
214adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
226adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  U  e.  S
)
238adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  X  e.  V
)
2410adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  Y  e.  V
)
2512adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2615adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
2717adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  y  e.  ( U  \  ( N `
 { x }
) ) )
28 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 14, 26, 27, 28lsppratlem4 16142 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )
301, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17lsppratlem1 16139 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  { Y } )  \/  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )
3120, 29, 30mpjaodan 762 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
324adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  W  e.  LVec )
336adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  U  e.  S )
348adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  X  e.  V )
3510adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  Y  e.  V )
3612adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
3715adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
3817adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  -> 
y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
39 simprl 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  X  e.  ( N `  { x ,  y } ) )
40 simprr 734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) )
411, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 14, 37, 38, 39, 40lsppratlem2 16140 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  -> 
( N `  { X ,  Y }
)  C_  U )
4231, 41mpdan 650 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3253    C_ wss 3256    C. wpss 3257   {csn 3750   {cpr 3751   ` cfv 5387   Basecbs 13389   0gc0g 13643   LSubSpclss 15928   LSpanclspn 15967   LVecclvec 16094
This theorem is referenced by:  lsppratlem6  16144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-drng 15757  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-lvec 16095
  Copyright terms: Public domain W3C validator