MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem5 Unicode version

Theorem lsppratlem5 15920
Description: Lemma for lspprat 15922. Combine the two cases and show a contradiction to  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) under the assumptions on  x and  y. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  U )

Proof of Theorem lsppratlem5
StepHypRef Expression
1 lspprat.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspprat.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspprat.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspprat.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
54adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
6 lspprat.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  U  e.  S )
8 lspprat.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
98adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  V )
10 lspprat.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1110adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  Y  e.  V )
12 lspprat.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
1312adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
14 lsppratlem1.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
15 lsppratlem1.x2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1615adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
17 lsppratlem1.y2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
1817adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  -> 
y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
19 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  x  e.  ( N `  { Y } ) )
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19lsppratlem3 15918 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  -> 
( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
214adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
226adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  U  e.  S
)
238adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  X  e.  V
)
2410adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  Y  e.  V
)
2512adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2615adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
2717adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  y  e.  ( U  \  ( N `
 { x }
) ) )
28 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 14, 26, 27, 28lsppratlem4 15919 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )
301, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17lsppratlem1 15916 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  { Y } )  \/  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )
3120, 29, 30mpjaodan 761 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
324adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  W  e.  LVec )
336adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  U  e.  S )
348adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  X  e.  V )
3510adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  Y  e.  V )
3612adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
3715adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
3817adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  -> 
y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
39 simprl 732 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  X  e.  ( N `  { x ,  y } ) )
40 simprr 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) )
411, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 14, 37, 38, 39, 40lsppratlem2 15917 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  -> 
( N `  { X ,  Y }
)  C_  U )
4231, 41mpdan 649 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    C_ wss 3165    C. wpss 3166   {csn 3653   {cpr 3654   ` cfv 5271   Basecbs 13164   0gc0g 13416   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871
This theorem is referenced by:  lsppratlem6  15921
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator