MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem6 Unicode version

Theorem lsppratlem6 15905
Description: Lemma for lspprat 15906. Negating the assumption on  y, we arrive close to the desired conclusion. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem6.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  U  =  ( N `  { x } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem6
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspprat.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
21adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
3 lspprat.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lspprat.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5 lspprat.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 lspprat.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
76adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
8 lspprat.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
98adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  U  e.  S )
10 lspprat.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1110adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  X  e.  V )
12 lspprat.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1312adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  Y  e.  V )
141adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
15 lsppratlem6.o . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
16 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
17 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) )
183, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17lsppratlem5 15904 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  C_  U
)
19 ssnpss 3279 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  { X ,  Y } )  C_  U  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
2120expr 598 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  (
y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) )  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
222, 21mt2d 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  -.  y  e.  ( U  \  ( N `  {
x } ) ) )
2322eq0rdv 3489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  =  (/) )
24 ssdif0 3513 . . . 4  |-  ( U 
C_  ( N `  { x } )  <-> 
( U  \  ( N `  { x } ) )  =  (/) )
2523, 24sylibr 203 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  C_  ( N `  {
x } ) )
26 lveclmod 15859 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
276, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2827adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  W  e.  LMod )
298adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  e.  S )
30 eldifi 3298 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  x  e.  U )
3130adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  U )
324, 5, 28, 29, 31lspsnel5a 15753 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  ( N `  { x } )  C_  U
)
3325, 32eqssd 3196 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  =  ( N `  { x } ) )
3433ex 423 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  U  =  ( N `  { x } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  lspprat  15906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856
  Copyright terms: Public domain W3C validator