MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprcl Structured version   Unicode version

Theorem lspprcl 16056
Description: The span of a pair is a subspace (frequently used special case of lspcl 16054). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspprcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspprcl  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  S )

Proof of Theorem lspprcl
StepHypRef Expression
1 lspprcl.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspprcl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lspprcl.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 prssi 3956 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
52, 3, 4syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
6 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
8 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
96, 7, 8lspcl 16054 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  S )
101, 5, 9syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   {cpr 3817   ` cfv 5456   Basecbs 13471   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010   LSpanclspn 16049
This theorem is referenced by:  lspprid1  16075  lspprvacl  16077  lsmelpr  16165  lspexch  16203  lspindpi  16206  lsppratlem4  16224  lsatfixedN  29869  dvh3dim2  32308  dvh3dim3N  32309  lclkrlem2v  32388  lcfrlem23  32425  lcfrlem25  32427  mapdindp  32531  baerlem3lem1  32567  baerlem5alem1  32568  baerlem5blem1  32569  baerlem5amN  32576  baerlem5bmN  32577  baerlem5abmN  32578  mapdh6aN  32595  mapdh6b0N  32596  mapdh6iN  32604  lspindp5  32630  mapdh8ab  32637  mapdh8ad  32639  mapdh8e  32644  mapdh9a  32650  mapdh9aOLDN  32651  hdmap1l6a  32670  hdmap1l6b0N  32671  hdmap1l6i  32679  hdmap1eulemOLDN  32685  hdmapval0  32696  hdmapval3lemN  32700  hdmap10lem  32702  hdmap11lem1  32704  hdmap11lem2  32705  hdmap14lem11  32741
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050
  Copyright terms: Public domain W3C validator