MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprel Unicode version

Theorem lspprel 16095
Description: Member of the span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsppr.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lsppr.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lsppr.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lsppr.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lsppr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsppr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsppr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsppr.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspprel  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. k  e.  K  E. l  e.  K  Z  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) ) )
Distinct variable groups:    k, l,  .+    k, F, l    k, K, l    k, N, l    .x. , k, l    k, V, l    k, W, l   
k, X, l    k, Y, l    ph, k, l   
k, Z, l

Proof of Theorem lspprel
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsppr.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lsppr.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lsppr.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 lsppr.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
5 lsppr.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 lsppr.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
7 lsppr.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lsppr.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
9 lsppr.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lsppr 16094 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X
)  .+  ( l  .x.  Y ) ) } )
1110eleq2d 2456 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  Z  e.  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) } ) )
12 id 20 . . . . . 6  |-  ( Z  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) )  ->  Z  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) ) )
13 ovex 6047 . . . . . 6  |-  ( ( k  .x.  X ) 
.+  ( l  .x.  Y ) )  e. 
_V
1412, 13syl6eqel 2477 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) )  ->  Z  e.  _V )
1514rexlimivw 2771 . . . 4  |-  ( E. l  e.  K  Z  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) )  ->  Z  e.  _V )
1615rexlimivw 2771 . . 3  |-  ( E. k  e.  K  E. l  e.  K  Z  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) )  ->  Z  e.  _V )
17 eqeq1 2395 . . . 4  |-  ( v  =  Z  ->  (
v  =  ( ( k  .x.  X ) 
.+  ( l  .x.  Y ) )  <->  Z  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) ) )
18172rexbidv 2694 . . 3  |-  ( v  =  Z  ->  ( E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( (
k  .x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) )  <->  E. k  e.  K  E. l  e.  K  Z  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) ) )
1916, 18elab3 3034 . 2  |-  ( Z  e.  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( (
k  .x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) ) }  <->  E. k  e.  K  E. l  e.  K  Z  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) )
2011, 19syl6bb 253 1  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. k  e.  K  E. l  e.  K  Z  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2375   E.wrex 2652   _Vcvv 2901   {cpr 3760   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   +g cplusg 13458  Scalarcsca 13461   .scvsca 13462   LModclmod 15879   LSpanclspn 15976
This theorem is referenced by:  lspfixed  16129  lspexch  16130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-subg 14870  df-cntz 15045  df-lsm 15199  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-lmod 15881  df-lss 15938  df-lsp 15977
  Copyright terms: Public domain W3C validator