MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppreli Structured version   Unicode version

Theorem lsppreli 16163
Description: A vector expressed as a sum belongs to the span of its components. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppreli.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsppreli.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lsppreli.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lsppreli.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lsppreli.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lsppreli.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsppreli.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsppreli.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lsppreli.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lsppreli.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsppreli.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsppreli  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )

Proof of Theorem lsppreli
StepHypRef Expression
1 lsppreli.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsppreli.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lsppreli.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lsppreli.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
53, 4lspsnsubg 16057 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
61, 2, 5syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
7 lsppreli.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
83, 4lspsnsubg 16057 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
91, 7, 8syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
10 lsppreli.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
11 lsppreli.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
12 lsppreli.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
13 lsppreli.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
143, 10, 11, 12, 4, 1, 13, 2lspsneli 16078 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
15 lsppreli.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
163, 10, 11, 12, 4, 1, 15, 7lspsneli 16078 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
17 lsppreli.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
18 eqid 2437 . . . 4  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
1917, 18lsmelvali 15285 . . 3  |-  ( ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( ( A  .x.  X )  e.  ( N `  { X } )  /\  ( B  .x.  Y )  e.  ( N `  { Y } ) ) )  ->  ( ( A 
.x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
206, 9, 14, 16, 19syl22anc 1186 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Y } ) ) )
213, 4, 18, 1, 2, 7lsmpr 16162 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
2220, 21eleqtrrd 2514 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   {csn 3815   {cpr 3816   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   +g cplusg 13530  Scalarcsca 13533   .scvsca 13534  SubGrpcsubg 14939   LSSumclsm 15269   LModclmod 15951   LSpanclspn 16048
This theorem is referenced by:  lspexch  16202  baerlem3lem1  32506  baerlem5alem1  32507  baerlem5blem1  32508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-lsm 15271  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049
  Copyright terms: Public domain W3C validator