MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprss Structured version   Unicode version

Theorem lspprss 16068
Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprss.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprss.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspprss.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprss.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
lspprss.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
lspprss  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  U )

Proof of Theorem lspprss
StepHypRef Expression
1 lspprss.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspprss.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
3 lspprss.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
4 lspprss.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
53, 4jca 519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U
) )
6 prssg 3953 . . . 4  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  U )  <->  { X ,  Y }  C_  U
) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  U )  <->  { X ,  Y }  C_  U
) )
85, 7mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  U )
9 lspprss.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
10 lspprss.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
119, 10lspssp 16064 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  { X ,  Y }  C_  U
)  ->  ( N `  { X ,  Y } )  C_  U
)
121, 2, 8, 11syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   {cpr 3815   ` cfv 5454   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008   LSpanclspn 16047
This theorem is referenced by:  lsppratlem2  16220  dvh3dim2  32246  dvh3dim3N  32247  lclkrlem2n  32318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048
  Copyright terms: Public domain W3C validator