MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsn Structured version   Unicode version

Theorem lspsn 16070
Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lspsn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lspsn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsn.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsn.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsn  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  =  {
v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X
) } )
Distinct variable groups:    k, F    v, k, K    k, N, v    k, V, v    k, W, v    .x. , k, v   
k, X, v
Allowed substitution hint:    F( v)

Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 lspsn.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 simpl 444 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
4 lspsn.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspsn.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 lspsn.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
7 lspsn.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 16031 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  e.  ( LSubSp `  W ) )
9 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
105, 7, 9lmod1cl 15969 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( 1r `  F )  e.  K )
124, 5, 6, 9lmodvs1 15970 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  F
)  .x.  X )  =  X )
1312eqcomd 2440 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  =  ( ( 1r
`  F )  .x.  X ) )
14 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1r `  F )  ->  (
k  .x.  X )  =  ( ( 1r
`  F )  .x.  X ) )
1514eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1r `  F )  ->  ( X  =  ( k  .x.  X )  <->  X  =  ( ( 1r `  F )  .x.  X
) ) )
1615rspcev 3044 . . . . 5  |-  ( ( ( 1r `  F
)  e.  K  /\  X  =  ( ( 1r `  F )  .x.  X ) )  ->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X ) )
1711, 13, 16syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) )
18 eqeq1 2441 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X  ->  (
v  =  ( k 
.x.  X )  <->  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
1918rexbidv 2718 . . . . . 6  |-  ( v  =  X  ->  ( E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X )  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
2019elabg 3075 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  e.  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
2120adantl 453 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  e.  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
2217, 21mpbird 224 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) } )
231, 2, 3, 8, 22lspsnel5a 16064 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  C_  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) } )
243adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  W  e.  LMod )
254, 1, 2lspsncl 16045 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
2625adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  ( N `  { X } )  e.  ( LSubSp `  W
) )
27 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  k  e.  K )
284, 2lspsnid 16061 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
2928adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
305, 6, 7, 1lssvscl 16023 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  /\  ( k  e.  K  /\  X  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( k  .x.  X )  e.  ( N `  { X } ) )
3124, 26, 27, 29, 30syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  ( k  .x.  X )  e.  ( N `  { X } ) )
32 eleq1a 2504 . . . . 5  |-  ( ( k  .x.  X )  e.  ( N `  { X } )  -> 
( v  =  ( k  .x.  X )  ->  v  e.  ( N `  { X } ) ) )
3331, 32syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  ( v  =  ( k  .x.  X )  ->  v  e.  ( N `  { X } ) ) )
3433rexlimdva 2822 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X )  ->  v  e.  ( N `  { X } ) ) )
3534abssdv 3409 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  C_  ( N `  { X } ) )
3623, 35eqssd 3357 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  =  {
v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X
) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   E.wrex 2698   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   1rcur 15654   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   LSpanclspn 16039
This theorem is referenced by:  lspsnel  16071  rnascl  16393  ldual1dim  29891  dia1dim2  31787  dib1dim2  31893  diclspsn  31919  dih1dimatlem  32054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040
  Copyright terms: Public domain W3C validator