MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsn Unicode version

Theorem lspsn 16006
Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lspsn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lspsn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsn.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsn.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsn  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  =  {
v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X
) } )
Distinct variable groups:    k, F    v, k, K    k, N, v    k, V, v    k, W, v    .x. , k, v   
k, X, v
Allowed substitution hint:    F( v)

Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 lspsn.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 simpl 444 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
4 lspsn.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspsn.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 lspsn.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
7 lspsn.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 15967 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  e.  ( LSubSp `  W ) )
9 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
105, 7, 9lmod1cl 15905 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( 1r `  F )  e.  K )
124, 5, 6, 9lmodvs1 15906 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  F
)  .x.  X )  =  X )
1312eqcomd 2393 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  =  ( ( 1r
`  F )  .x.  X ) )
14 oveq1 6028 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1r `  F )  ->  (
k  .x.  X )  =  ( ( 1r
`  F )  .x.  X ) )
1514eqeq2d 2399 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1r `  F )  ->  ( X  =  ( k  .x.  X )  <->  X  =  ( ( 1r `  F )  .x.  X
) ) )
1615rspcev 2996 . . . . 5  |-  ( ( ( 1r `  F
)  e.  K  /\  X  =  ( ( 1r `  F )  .x.  X ) )  ->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X ) )
1711, 13, 16syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) )
18 eqeq1 2394 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X  ->  (
v  =  ( k 
.x.  X )  <->  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
1918rexbidv 2671 . . . . . 6  |-  ( v  =  X  ->  ( E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X )  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
2019elabg 3027 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  e.  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
2120adantl 453 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  e.  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  X
) ) )
2217, 21mpbird 224 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) } )
231, 2, 3, 8, 22lspsnel5a 16000 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  C_  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) } )
243adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  W  e.  LMod )
254, 1, 2lspsncl 15981 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
2625adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  ( N `  { X } )  e.  ( LSubSp `  W
) )
27 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  k  e.  K )
284, 2lspsnid 15997 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
2928adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
305, 6, 7, 1lssvscl 15959 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  /\  ( k  e.  K  /\  X  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( k  .x.  X )  e.  ( N `  { X } ) )
3124, 26, 27, 29, 30syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  ( k  .x.  X )  e.  ( N `  { X } ) )
32 eleq1a 2457 . . . . 5  |-  ( ( k  .x.  X )  e.  ( N `  { X } )  -> 
( v  =  ( k  .x.  X )  ->  v  e.  ( N `  { X } ) ) )
3331, 32syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  /\  k  e.  K
)  ->  ( v  =  ( k  .x.  X )  ->  v  e.  ( N `  { X } ) ) )
3433rexlimdva 2774 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X )  ->  v  e.  ( N `  { X } ) ) )
3534abssdv 3361 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  C_  ( N `  { X } ) )
3623, 35eqssd 3309 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  =  {
v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X
) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374   E.wrex 2651   {csn 3758   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   1rcur 15590   LModclmod 15878   LSubSpclss 15936   LSpanclspn 15975
This theorem is referenced by:  lspsnel  16007  rnascl  16329  ldual1dim  29282  dia1dim2  31178  dib1dim2  31284  diclspsn  31310  dih1dimatlem  31445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976
  Copyright terms: Public domain W3C validator