MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncl Unicode version

Theorem lspsncl 15734
Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 15733). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsncl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)

Proof of Theorem lspsncl
StepHypRef Expression
1 snssi 3759 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { X }  C_  V )
2 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
52, 3, 4lspcl 15733 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S )
61, 5sylan2 460 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255   Basecbs 13148   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728
This theorem is referenced by:  lspsnsubg  15737  lspsneli  15758  lspsn  15759  lspsnss2  15762  lsmelval2  15838  lsmpr  15842  lsppr  15846  lspprabs  15848  lspsncmp  15869  lspsnne1  15870  lspsnne2  15871  lspabs3  15874  lspsneq  15875  lspdisj  15878  lspdisj2  15880  lspfixed  15881  lspexchn1  15883  lspindpi  15885  lsmcv  15894  lshpnel  29173  lshpnelb  29174  lshpnel2N  29175  lshpdisj  29177  lsatlss  29186  lsmsat  29198  lsatfixedN  29199  lssats  29202  lsmcv2  29219  lsat0cv  29223  lkrlsp  29292  lkrlsp3  29294  lshpsmreu  29299  lshpkrlem5  29304  dochnel  31583  djhlsmat  31617  dihjat1lem  31618  dvh3dim3N  31639  lclkrlem2b  31698  lclkrlem2f  31702  lclkrlem2p  31712  lcfrvalsnN  31731  lcfrlem23  31755  mapdsn  31831  mapdn0  31859  mapdncol  31860  mapdindp  31861  mapdpglem1  31862  mapdpglem2a  31864  mapdpglem3  31865  mapdpglem6  31868  mapdpglem8  31869  mapdpglem9  31870  mapdpglem12  31873  mapdpglem13  31874  mapdpglem14  31875  mapdpglem17N  31878  mapdpglem18  31879  mapdpglem19  31880  mapdpglem21  31882  mapdpglem23  31884  mapdpglem29  31890  mapdindp0  31909  mapdheq4lem  31921  mapdh6lem1N  31923  mapdh6lem2N  31924  mapdh6dN  31929  lspindp5  31960  hdmaplem3  31963  mapdh9a  31980  hdmap1l6lem1  31998  hdmap1l6lem2  31999  hdmap1l6d  32004  hdmap1eulem  32014  hdmap11lem2  32035  hdmapeq0  32037  hdmaprnlem1N  32042  hdmaprnlem3N  32043  hdmaprnlem3uN  32044  hdmaprnlem4N  32046  hdmaprnlem7N  32048  hdmaprnlem8N  32049  hdmaprnlem9N  32050  hdmaprnlem3eN  32051  hdmaprnlem16N  32055  hdmap14lem9  32069  hgmaprnlem2N  32090  hdmapglem7a  32120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729
  Copyright terms: Public domain W3C validator