MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncl Unicode version

Theorem lspsncl 16016
Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 16015). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsncl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)

Proof of Theorem lspsncl
StepHypRef Expression
1 snssi 3910 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { X }  C_  V )
2 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
52, 3, 4lspcl 16015 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S )
61, 5sylan2 461 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   {csn 3782   ` cfv 5421   Basecbs 13432   LModclmod 15913   LSubSpclss 15971   LSpanclspn 16010
This theorem is referenced by:  lspsnsubg  16019  lspsneli  16040  lspsn  16041  lspsnss2  16044  lsmelval2  16120  lsmpr  16124  lsppr  16128  lspprabs  16130  lspsncmp  16151  lspsnne1  16152  lspsnne2  16153  lspabs3  16156  lspsneq  16157  lspdisj  16160  lspdisj2  16162  lspfixed  16163  lspexchn1  16165  lspindpi  16167  lsmcv  16176  lshpnel  29478  lshpnelb  29479  lshpnel2N  29480  lshpdisj  29482  lsatlss  29491  lsmsat  29503  lsatfixedN  29504  lssats  29507  lsmcv2  29524  lsat0cv  29528  lkrlsp  29597  lkrlsp3  29599  lshpsmreu  29604  lshpkrlem5  29609  dochnel  31888  djhlsmat  31922  dihjat1lem  31923  dvh3dim3N  31944  lclkrlem2b  32003  lclkrlem2f  32007  lclkrlem2p  32017  lcfrvalsnN  32036  lcfrlem23  32060  mapdsn  32136  mapdn0  32164  mapdncol  32165  mapdindp  32166  mapdpglem1  32167  mapdpglem2a  32169  mapdpglem3  32170  mapdpglem6  32173  mapdpglem8  32174  mapdpglem9  32175  mapdpglem12  32178  mapdpglem13  32179  mapdpglem14  32180  mapdpglem17N  32183  mapdpglem18  32184  mapdpglem19  32185  mapdpglem21  32187  mapdpglem23  32189  mapdpglem29  32195  mapdindp0  32214  mapdheq4lem  32226  mapdh6lem1N  32228  mapdh6lem2N  32229  mapdh6dN  32234  lspindp5  32265  hdmaplem3  32268  mapdh9a  32285  hdmap1l6lem1  32303  hdmap1l6lem2  32304  hdmap1l6d  32309  hdmap1eulem  32319  hdmap11lem2  32340  hdmapeq0  32342  hdmaprnlem1N  32347  hdmaprnlem3N  32348  hdmaprnlem3uN  32349  hdmaprnlem4N  32351  hdmaprnlem7N  32353  hdmaprnlem8N  32354  hdmaprnlem9N  32355  hdmaprnlem3eN  32356  hdmaprnlem16N  32360  hdmap14lem9  32374  hgmaprnlem2N  32395  hdmapglem7a  32425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011
  Copyright terms: Public domain W3C validator