MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncl Structured version   Unicode version

Theorem lspsncl 16058
Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 16057). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsncl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)

Proof of Theorem lspsncl
StepHypRef Expression
1 snssi 3944 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { X }  C_  V )
2 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
52, 3, 4lspcl 16057 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S )
61, 5sylan2 462 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   {csn 3816   ` cfv 5457   Basecbs 13474   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   LSpanclspn 16052
This theorem is referenced by:  lspsnsubg  16061  lspsneli  16082  lspsn  16083  lspsnss2  16086  lsmelval2  16162  lsmpr  16166  lsppr  16170  lspprabs  16172  lspsncmp  16193  lspsnne1  16194  lspsnne2  16195  lspabs3  16198  lspsneq  16199  lspdisj  16202  lspdisj2  16204  lspfixed  16205  lspexchn1  16207  lspindpi  16209  lsmcv  16218  lshpnel  29855  lshpnelb  29856  lshpnel2N  29857  lshpdisj  29859  lsatlss  29868  lsmsat  29880  lsatfixedN  29881  lssats  29884  lsmcv2  29901  lsat0cv  29905  lkrlsp  29974  lkrlsp3  29976  lshpsmreu  29981  lshpkrlem5  29986  dochnel  32265  djhlsmat  32299  dihjat1lem  32300  dvh3dim3N  32321  lclkrlem2b  32380  lclkrlem2f  32384  lclkrlem2p  32394  lcfrvalsnN  32413  lcfrlem23  32437  mapdsn  32513  mapdn0  32541  mapdncol  32542  mapdindp  32543  mapdpglem1  32544  mapdpglem2a  32546  mapdpglem3  32547  mapdpglem6  32550  mapdpglem8  32551  mapdpglem9  32552  mapdpglem12  32555  mapdpglem13  32556  mapdpglem14  32557  mapdpglem17N  32560  mapdpglem18  32561  mapdpglem19  32562  mapdpglem21  32564  mapdpglem23  32566  mapdpglem29  32572  mapdindp0  32591  mapdheq4lem  32603  mapdh6lem1N  32605  mapdh6lem2N  32606  mapdh6dN  32611  lspindp5  32642  hdmaplem3  32645  mapdh9a  32662  hdmap1l6lem1  32680  hdmap1l6lem2  32681  hdmap1l6d  32686  hdmap1eulem  32696  hdmap11lem2  32717  hdmapeq0  32719  hdmaprnlem1N  32724  hdmaprnlem3N  32725  hdmaprnlem3uN  32726  hdmaprnlem4N  32728  hdmaprnlem7N  32730  hdmaprnlem8N  32731  hdmaprnlem9N  32732  hdmaprnlem3eN  32733  hdmaprnlem16N  32737  hdmap14lem9  32751  hgmaprnlem2N  32772  hdmapglem7a  32802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053
  Copyright terms: Public domain W3C validator