MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncl Unicode version

Theorem lspsncl 15833
Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 15832). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsncl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)

Proof of Theorem lspsncl
StepHypRef Expression
1 snssi 3838 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { X }  C_  V )
2 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
52, 3, 4lspcl 15832 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S )
61, 5sylan2 460 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   {csn 3716   ` cfv 5337   Basecbs 13245   LModclmod 15726   LSubSpclss 15788   LSpanclspn 15827
This theorem is referenced by:  lspsnsubg  15836  lspsneli  15857  lspsn  15858  lspsnss2  15861  lsmelval2  15937  lsmpr  15941  lsppr  15945  lspprabs  15947  lspsncmp  15968  lspsnne1  15969  lspsnne2  15970  lspabs3  15973  lspsneq  15974  lspdisj  15977  lspdisj2  15979  lspfixed  15980  lspexchn1  15982  lspindpi  15984  lsmcv  15993  lshpnel  29242  lshpnelb  29243  lshpnel2N  29244  lshpdisj  29246  lsatlss  29255  lsmsat  29267  lsatfixedN  29268  lssats  29271  lsmcv2  29288  lsat0cv  29292  lkrlsp  29361  lkrlsp3  29363  lshpsmreu  29368  lshpkrlem5  29373  dochnel  31652  djhlsmat  31686  dihjat1lem  31687  dvh3dim3N  31708  lclkrlem2b  31767  lclkrlem2f  31771  lclkrlem2p  31781  lcfrvalsnN  31800  lcfrlem23  31824  mapdsn  31900  mapdn0  31928  mapdncol  31929  mapdindp  31930  mapdpglem1  31931  mapdpglem2a  31933  mapdpglem3  31934  mapdpglem6  31937  mapdpglem8  31938  mapdpglem9  31939  mapdpglem12  31942  mapdpglem13  31943  mapdpglem14  31944  mapdpglem17N  31947  mapdpglem18  31948  mapdpglem19  31949  mapdpglem21  31951  mapdpglem23  31953  mapdpglem29  31959  mapdindp0  31978  mapdheq4lem  31990  mapdh6lem1N  31992  mapdh6lem2N  31993  mapdh6dN  31998  lspindp5  32029  hdmaplem3  32032  mapdh9a  32049  hdmap1l6lem1  32067  hdmap1l6lem2  32068  hdmap1l6d  32073  hdmap1eulem  32083  hdmap11lem2  32104  hdmapeq0  32106  hdmaprnlem1N  32111  hdmaprnlem3N  32112  hdmaprnlem3uN  32113  hdmaprnlem4N  32115  hdmaprnlem7N  32117  hdmaprnlem8N  32118  hdmaprnlem9N  32119  hdmaprnlem3eN  32120  hdmaprnlem16N  32124  hdmap14lem9  32138  hgmaprnlem2N  32159  hdmapglem7a  32189
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828
  Copyright terms: Public domain W3C validator