MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncmp Structured version   Unicode version

Theorem lspsncmp 16190
Description: Comparable spans of nonzero singletons are equal. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncmp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsncmp.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspsncmp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsncmp.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsncmp.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspsncmp.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsncmp  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )

Proof of Theorem lspsncmp
StepHypRef Expression
1 lspsncmp.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspsncmp.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 lspsncmp.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspsncmp.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
54adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
6 lspsncmp.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
76adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) )  ->  Y  e.  V
)
8 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
9 lveclmod 16180 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
104, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
111, 8, 3lspsncl 16055 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
1210, 6, 11syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
13 lspsncmp.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3334 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
151, 8, 3, 10, 12, 14lspsnel5 16073 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) ) )
1615biimpar 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Y } ) )
17 eldifsni 3930 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
1813, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
1918adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) )  ->  X  =/=  .0.  )
201, 2, 3, 5, 7, 16, 19lspsneleq 16189 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
2120ex 425 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
22 eqimss 3402 . 2  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } ) )
2321, 22impbid1 196 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   ` cfv 5456   Basecbs 13471   0gc0g 13725   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010   LSpanclspn 16049   LVecclvec 16176
This theorem is referenced by:  lspsnne1  16191  lspabs2  16194  lspabs3  16195  lsatfixedN  29869  mapdindp0  32579  hdmaprnlem4N  32716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177
  Copyright terms: Public domain W3C validator