MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5a Structured version   Unicode version

Theorem lspsnel5a 16065
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5a.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsnel5a.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnel5a.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnel5a.a  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspsnel5a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
Assertion
Ref Expression
lspsnel5a  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)

Proof of Theorem lspsnel5a
StepHypRef Expression
1 lspsnel5a.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
2 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lspsnel5a.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspsnel5a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
5 lspsnel5a.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lspsnel5a.a . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
72, 3lssel 16007 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
86, 1, 7syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
92, 3, 4, 5, 6, 8lspsnel5 16064 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
101, 9mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3313   {csn 3807   ` cfv 5447   Basecbs 13462   LModclmod 15943   LSubSpclss 16001   LSpanclspn 16040
This theorem is referenced by:  lssats2  16069  lspsn  16071  lspsnvsi  16073  lsmelval2  16150  lspprabs  16160  lspvadd  16161  lspabs3  16186  lsmcv  16206  lspsnat  16210  lsppratlem6  16217  issubassa2  16396  lshpnel  29719  lsatel  29741  lsmsat  29744  lssatomic  29747  lssats  29748  lsat0cv  29769  dia2dimlem10  31809  dochsatshpb  32188  lclkrlem2f  32248  lcfrlem25  32303  lcfrlem35  32313  mapdval2N  32366  mapdrvallem2  32381  mapdpglem8  32415  mapdpglem13  32420  mapdindp0  32455  mapdh6aN  32471  mapdh8e  32520  mapdh9a  32526  hdmap1l6a  32546  hdmapval0  32572  hdmapval3lemN  32576  hdmap10lem  32578  hdmap11lem1  32580  hdmap11lem2  32581  hdmaprnlem4N  32592  hdmaprnlem3eN  32597
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-riota 6542  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-grp 14805  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lsp 16041
  Copyright terms: Public domain W3C validator