MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneli Structured version   Unicode version

Theorem lspsneli 16070
Description: A scalar product with a vector belongs to the span of its singleton. (spansnmul 23059 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnvsel.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnvsel.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsnvsel.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lspsnvsel.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lspsnvsel.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnvsel.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnvsel.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lspsnvsel.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsneli  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )

Proof of Theorem lspsneli
StepHypRef Expression
1 lspsnvsel.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspsnvsel.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lspsnvsel.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2436 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
5 lspsnvsel.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
63, 4, 5lspsncl 16046 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
71, 2, 6syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
8 lspsnvsel.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
93, 5lspsnid 16062 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
101, 2, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
11 lspsnvsel.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
12 lspsnvsel.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  W )
13 lspsnvsel.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  F
)
1411, 12, 13, 4lssvscl 16024 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( A  .x.  X )  e.  ( N `  { X } ) )
151, 7, 8, 10, 14syl22anc 1185 1  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3807   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   Basecbs 13462  Scalarcsca 13525   .scvsca 13526   LModclmod 15943   LSubSpclss 16001   LSpanclspn 16040
This theorem is referenced by:  lspsnvsi  16073  lsmspsn  16149  lsppreli  16155  lspexch  16194  lvecindp  16203  lvecindp2  16204  lshpdisj  29723  lkrlsp  29838  lshpsmreu  29845  lshpkrlem5  29850  baerlem3lem2  32446  baerlem5alem2  32447  baerlem5blem2  32448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-plusg 13535  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lsp 16041
  Copyright terms: Public domain W3C validator