Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneq Structured version   Unicode version

Theorem lspsneq 16199
 Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 16086 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneq.v
lspsneq.s Scalar
lspsneq.k
lspsneq.o
lspsneq.t
lspsneq.n
lspsneq.w
lspsneq.x
lspsneq.y
Assertion
Ref Expression
lspsneq
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem lspsneq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneq.w . . . . . . . . . 10
2 lveclmod 16183 . . . . . . . . . 10
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9
4 lspsneq.s . . . . . . . . . 10 Scalar
54lmodrng 15963 . . . . . . . . 9
6 lspsneq.k . . . . . . . . . 10
7 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
86, 7rngidcl 15689 . . . . . . . . 9
93, 5, 83syl 19 . . . . . . . 8
104lvecdrng 16182 . . . . . . . . 9
11 lspsneq.o . . . . . . . . . 10
1211, 7drngunz 15855 . . . . . . . . 9
131, 10, 123syl 19 . . . . . . . 8
14 eldifsn 3929 . . . . . . . 8
159, 13, 14sylanbrc 647 . . . . . . 7
1615ad2antrr 708 . . . . . 6
17 lspsneq.v . . . . . . . . . . 11
18 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
1917, 18lmod0vcl 15984 . . . . . . . . . 10
201, 2, 193syl 19 . . . . . . . . 9
21 lspsneq.t . . . . . . . . . 10
2217, 4, 21, 7lmodvs1 15983 . . . . . . . . 9
233, 20, 22syl2anc 644 . . . . . . . 8
2423ad2antrr 708 . . . . . . 7
25 oveq2 6092 . . . . . . . 8
2625adantl 454 . . . . . . 7
27 lspsneq.n . . . . . . . . 9
283adantr 453 . . . . . . . . 9
29 lspsneq.x . . . . . . . . . 10
3029adantr 453 . . . . . . . . 9
31 lspsneq.y . . . . . . . . . 10
3231adantr 453 . . . . . . . . 9
33 simpr 449 . . . . . . . . 9
3417, 18, 27, 28, 30, 32, 33lspsneq0b 16094 . . . . . . . 8
3534biimpar 473 . . . . . . 7
3624, 26, 353eqtr4rd 2481 . . . . . 6
37 oveq1 6091 . . . . . . . 8
3837eqeq2d 2449 . . . . . . 7
3938rspcev 3054 . . . . . 6
4016, 36, 39syl2anc 644 . . . . 5
41 eqimss 3402 . . . . . . . . . 10
4241adantl 454 . . . . . . . . 9
43 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
4417, 43, 27lspsncl 16058 . . . . . . . . . . . 12
453, 31, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
4645adantr 453 . . . . . . . . . 10
4717, 43, 27, 28, 46, 30lspsnel5 16076 . . . . . . . . 9
4842, 47mpbird 225 . . . . . . . 8
494, 6, 17, 21, 27lspsnel 16084 . . . . . . . . 9
5028, 32, 49syl2anc 644 . . . . . . . 8
5148, 50mpbid 203 . . . . . . 7
5251adantr 453 . . . . . 6
53 simprl 734 . . . . . . . . . 10
54 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14
5554adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
5634biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756necon3d 2641 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14
5958adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
6055, 59eqnetrrd 2623 . . . . . . . . . . . 12
611adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
6261ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13
6332ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13
6417, 21, 4, 6, 11, 18, 62, 53, 63lvecvsn0 16186 . . . . . . . . . . . 12
6560, 64mpbid 203 . . . . . . . . . . 11
6665simpld 447 . . . . . . . . . 10
67 eldifsn 3929 . . . . . . . . . 10
6853, 66, 67sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
6968, 55jca 520 . . . . . . . 8
7069ex 425 . . . . . . 7
7170reximdv2 2817 . . . . . 6
7252, 71mpd 15 . . . . 5
7340, 72pm2.61dane 2684 . . . 4
7473ex 425 . . 3
751adantr 453 . . . . . . 7
76 eldifi 3471 . . . . . . . 8
7776adantl 454 . . . . . . 7
78 eldifsni 3930 . . . . . . . 8
7978adantl 454 . . . . . . 7
8031adantr 453 . . . . . . 7
8117, 4, 21, 6, 11, 27lspsnvs 16191 . . . . . . 7
8275, 77, 79, 80, 81syl121anc 1190 . . . . . 6
8382ex 425 . . . . 5
84 sneq 3827 . . . . . . . 8
8584fveq2d 5735 . . . . . . 7
8685eqeq1d 2446 . . . . . 6
8786biimprcd 218 . . . . 5
8883, 87syl6 32 . . . 4
8988rexlimdv 2831 . . 3
9074, 89impbid 185 . 2
91 oveq1 6091 . . . 4
9291eqeq2d 2449 . . 3
9392cbvrexv 2935 . 2
9490, 93syl6bb 254 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708   cdif 3319   wss 3322  csn 3816  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474  Scalarcsca 13537  cvsca 13538  c0g 13728  crg 15665  cur 15667  cdr 15840  clmod 15955  clss 16013  clspn 16052  clvec 16179 This theorem is referenced by:  lspsneu  16200  mapdpglem26  32570  mapdpglem27  32571  hdmap14lem2a  32742  hdmap14lem2N  32744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180
 Copyright terms: Public domain W3C validator