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Theorem lspsneq 16182
Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 16069 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneq.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsneq.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
lspsneq.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
lspsneq.o  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
lspsneq.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsneq.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsneq.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsneq.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsneq.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsneq  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  <->  E. k  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( k  .x.  Y
) ) )
Distinct variable groups:    k, K    .0. , k    .x. , k    k, X    k, Y
Allowed substitution hints:    ph( k)    S( k)    N( k)    V( k)    W( k)

Proof of Theorem lspsneq
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneq.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16166 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspsneq.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  (Scalar `  W )
54lmodrng 15946 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e. 
Ring )
6 lspsneq.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  S
)
7 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
86, 7rngidcl 15672 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  K )
93, 5, 83syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  K )
104lvecdrng 16165 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  S  e.  DivRing )
11 lspsneq.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
1211, 7drngunz 15838 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  DivRing  ->  ( 1r `  S )  =/=  .0.  )
131, 10, 123syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  =/=  .0.  )
14 eldifsn 3919 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  S )  e.  ( K  \  {  .0.  } )  <->  ( ( 1r `  S )  e.  K  /\  ( 1r
`  S )  =/= 
.0.  ) )
159, 13, 14sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  ( K 
\  {  .0.  }
) )
1615ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  -> 
( 1r `  S
)  e.  ( K 
\  {  .0.  }
) )
17 lspsneq.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( Base `  W
)
18 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
1917, 18lmod0vcl 15967 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  W )  e.  V )
201, 2, 193syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  W
)  e.  V )
21 lspsneq.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2217, 4, 21, 7lmodvs1 15966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 0g `  W )  e.  V )  ->  (
( 1r `  S
)  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
233, 20, 22syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  S )  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W ) )
2423ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  -> 
( ( 1r `  S )  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W ) )
25 oveq2 6080 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  (
( 1r `  S
)  .x.  Y )  =  ( ( 1r
`  S )  .x.  ( 0g `  W ) ) )
2625adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  -> 
( ( 1r `  S )  .x.  Y
)  =  ( ( 1r `  S ) 
.x.  ( 0g `  W ) ) )
27 lspsneq.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
283adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LMod )
29 lspsneq.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3029adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  V
)
31 lspsneq.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3231adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  Y  e.  V
)
33 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3417, 18, 27, 28, 30, 32, 33lspsneq0b 16077 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( X  =  ( 0g `  W
)  <->  Y  =  ( 0g `  W ) ) )
3534biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  ->  X  =  ( 0g `  W ) )
3624, 26, 353eqtr4rd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  ->  X  =  ( ( 1r `  S )  .x.  Y ) )
37 oveq1 6079 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( 1r `  S )  ->  (
j  .x.  Y )  =  ( ( 1r
`  S )  .x.  Y ) )
3837eqeq2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( 1r `  S )  ->  ( X  =  ( j  .x.  Y )  <->  X  =  ( ( 1r `  S )  .x.  Y
) ) )
3938rspcev 3044 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1r `  S
)  e.  ( K 
\  {  .0.  }
)  /\  X  =  ( ( 1r `  S )  .x.  Y
) )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y
) )
4016, 36, 39syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  }
) X  =  ( j  .x.  Y ) )
41 eqimss 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } ) )
4241adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } ) )
43 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
4417, 43, 27lspsncl 16041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
453, 31, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
4645adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( N `  { Y } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
4717, 43, 27, 28, 46, 30lspsnel5 16059 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) ) )
4842, 47mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Y } ) )
494, 6, 17, 21, 27lspsnel 16067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  E. j  e.  K  X  =  ( j  .x.  Y ) ) )
5028, 32, 49syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  E. j  e.  K  X  =  ( j  .x.  Y
) ) )
5148, 50mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  E. j  e.  K  X  =  ( j  .x.  Y ) )
5251adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  E. j  e.  K  X  =  ( j  .x.  Y ) )
53 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  j  e.  K )
54 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  K  /\  X  =  ( j  .x.  Y ) )  ->  X  =  ( j  .x.  Y ) )
5554adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  X  =  ( j  .x.  Y ) )
5634biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( X  =  ( 0g `  W
)  ->  Y  =  ( 0g `  W ) ) )
5756necon3d 2636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( Y  =/=  ( 0g `  W
)  ->  X  =/=  ( 0g `  W ) ) )
5857imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  W ) )
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  X  =/=  ( 0g `  W
) )
6055, 59eqnetrrd 2618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  (
j  .x.  Y )  =/=  ( 0g `  W
) )
611adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
6261ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  W  e.  LVec )
6332ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  Y  e.  V )
6417, 21, 4, 6, 11, 18, 62, 53, 63lvecvsn0 16169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  (
( j  .x.  Y
)  =/=  ( 0g
`  W )  <->  ( j  =/=  .0.  /\  Y  =/=  ( 0g `  W
) ) ) )
6560, 64mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  (
j  =/=  .0.  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) ) )
6665simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  j  =/=  .0.  )
67 eldifsn 3919 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( K  \  {  .0.  } )  <->  ( j  e.  K  /\  j  =/=  .0.  ) )
6853, 66, 67sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )
6968, 55jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  (
j  e.  ( K 
\  {  .0.  }
)  /\  X  =  ( j  .x.  Y
) ) )
7069ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  -> 
( ( j  e.  K  /\  X  =  ( j  .x.  Y
) )  ->  (
j  e.  ( K 
\  {  .0.  }
)  /\  X  =  ( j  .x.  Y
) ) ) )
7170reximdv2 2807 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  -> 
( E. j  e.  K  X  =  ( j  .x.  Y )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y ) ) )
7252, 71mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  }
) X  =  ( j  .x.  Y ) )
7340, 72pm2.61dane 2676 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y ) )
7473ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y
) ) )
751adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )  ->  W  e.  LVec )
76 eldifi 3461 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -> 
j  e.  K )
7776adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )  ->  j  e.  K )
78 eldifsni 3920 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -> 
j  =/=  .0.  )
7978adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )  ->  j  =/=  .0.  )
8031adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )  ->  Y  e.  V )
8117, 4, 21, 6, 11, 27lspsnvs 16174 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
j  e.  K  /\  j  =/=  .0.  )  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  {
( j  .x.  Y
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
8275, 77, 79, 80, 81syl121anc 1189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )  ->  ( N `  { (
j  .x.  Y ) } )  =  ( N `  { Y } ) )
8382ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( K  \  {  .0.  } )  ->  ( N `  { ( j  .x.  Y ) } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
84 sneq 3817 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( j  .x.  Y )  ->  { X }  =  { (
j  .x.  Y ) } )
8584fveq2d 5723 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( j  .x.  Y )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( j  .x.  Y ) } ) )
8685eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( j  .x.  Y )  ->  (
( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { ( j  .x.  Y ) } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
8786biimprcd 217 . . . . 5  |-  ( ( N `  { ( j  .x.  Y ) } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( X  =  ( j  .x.  Y )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
8883, 87syl6 31 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( K  \  {  .0.  } )  ->  ( X  =  ( j  .x.  Y )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) ) )
8988rexlimdv 2821 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y
)  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
9074, 89impbid 184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  <->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y
) ) )
91 oveq1 6079 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
j  .x.  Y )  =  ( k  .x.  Y ) )
9291eqeq2d 2446 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  ( X  =  ( j  .x.  Y )  <->  X  =  ( k  .x.  Y
) ) )
9392cbvrexv 2925 . 2  |-  ( E. j  e.  ( K 
\  {  .0.  }
) X  =  ( j  .x.  Y )  <->  E. k  e.  ( K  \  {  .0.  }
) X  =  ( k  .x.  Y ) )
9490, 93syl6bb 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  <->  E. k  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( k  .x.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457  Scalarcsca 13520   .scvsca 13521   0gc0g 13711   Ringcrg 15648   1rcur 15650   DivRingcdr 15823   LModclmod 15938   LSubSpclss 15996   LSpanclspn 16035   LVecclvec 16162
This theorem is referenced by:  lspsneu  16183  mapdpglem26  32335  mapdpglem27  32336  hdmap14lem2a  32507  hdmap14lem2N  32509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-0g 13715  df-mnd 14678  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-drng 15825  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-lvec 16163
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