MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneq0 Unicode version

Theorem lspsneq0 15769
Description: Span of the singleton is the zero subspace iff the vector is zero. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneq0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsneq0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspsneq0.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsneq0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  =  {  .0.  }  <->  X  =  .0.  ) )

Proof of Theorem lspsneq0
StepHypRef Expression
1 lspsneq0.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspsneq0.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
31, 2lspsnid 15750 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
4 eleq2 2344 . . . 4  |-  ( ( N `  { X } )  =  {  .0.  }  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  <->  X  e.  {  .0.  } ) )
53, 4syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  =  {  .0.  }  ->  X  e.  {  .0.  } ) )
6 elsni 3664 . . 3  |-  ( X  e.  {  .0.  }  ->  X  =  .0.  )
75, 6syl6 29 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  =  {  .0.  }  ->  X  =  .0.  ) )
8 lspsneq0.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
98, 2lspsn0 15765 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
109adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
11 sneq 3651 . . . . 5  |-  ( X  =  .0.  ->  { X }  =  {  .0.  } )
1211fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( X  =  .0.  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  {  .0.  } ) )
1312eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( X  =  .0.  ->  (
( N `  { X } )  =  {  .0.  }  <->  ( N `  {  .0.  } )  =  {  .0.  } ) )
1410, 13syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  =  .0.  ->  ( N `  { X } )  =  {  .0.  } ) )
157, 14impbid 183 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  =  {  .0.  }  <->  X  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   LModclmod 15627   LSpanclspn 15728
This theorem is referenced by:  lspsneq0b  15770  lsatn0  28562  lsator0sp  28564  lsat0cv  28596  dih0vbN  30845  dihlspsnat  30896  mapdn0  31232  mapdindp1  31283  hdmapeq0  31410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729
  Copyright terms: Public domain W3C validator