MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnid Unicode version

Theorem lspsnid 15750
Description: A vector belongs to the span of its singleton. (spansnid 22142 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnid.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnid.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsnid  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )

Proof of Theorem lspsnid
StepHypRef Expression
1 snssi 3759 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  { X }  C_  V )
2 lspsnid.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lspsnid.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
42, 3lspssid 15742 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  { X }  C_  ( N `  { X } ) )
51, 4sylan2 460 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  { X }  C_  ( N `  { X } ) )
6 snssg 3754 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  <->  { X }  C_  ( N `  { X } ) ) )
76adantl 452 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  <->  { X }  C_  ( N `  { X } ) ) )
85, 7mpbird 223 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255   Basecbs 13148   LModclmod 15627   LSpanclspn 15728
This theorem is referenced by:  lspsnel6  15751  lssats2  15757  lspsneli  15758  lspsn  15759  lspsneq0  15769  lsmelval2  15838  lspprabs  15848  lspabs3  15874  lspsnel4  15877  lspdisjb  15879  lspfixed  15881  lshpnelb  29174  lsateln0  29185  lssats  29202  dia1dimid  31253  dochnel  31583  dihjat1lem  31618  dochsnkr2cl  31664  lcfrvalsnN  31731  lcfrlem15  31747  mapdpglem2  31863  mapdpglem9  31870  mapdpglem12  31873  mapdpglem14  31875  mapdindp0  31909  mapdindp3  31912  hdmap11lem2  32035  hdmaprnlem3N  32043  hdmaprnlem7N  32048  hdmaprnlem8N  32049  hdmaprnlem3eN  32051  hdmaplkr  32106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729
  Copyright terms: Public domain W3C validator