MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnss2 Unicode version

Theorem lspsnss2 16069
Description: Comparable spans of singletons must have proportional vectors. See lspsneq 16182 for equal span version. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnss2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnss2.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
lspsnss2.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
lspsnss2.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsnss2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnss2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnss2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsnss2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsnss2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } )  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  Y
) ) )
Distinct variable groups:    k, K    k, N    S, k    k, V   
k, W    k, X    k, Y    .x. , k
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem lspsnss2
StepHypRef Expression
1 lspsnss2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
3 lspsnss2.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspsnss2.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 lspsnss2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
61, 2, 3lspsncl 16041 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
74, 5, 6syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
8 lspsnss2.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
91, 2, 3, 4, 7, 8lspsnel5 16059 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) ) )
10 lspsnss2.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  W )
11 lspsnss2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  S
)
12 lspsnss2.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1310, 11, 1, 12, 3lspsnel 16067 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  Y ) ) )
144, 5, 13syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  Y
) ) )
159, 14bitr3d 247 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } )  <->  E. k  e.  K  X  =  ( k  .x.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457  Scalarcsca 13520   .scvsca 13521   LModclmod 15938   LSubSpclss 15996   LSpanclspn 16035
This theorem is referenced by:  hgmaprnlem3N  32538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-plusg 13530  df-0g 13715  df-mnd 14678  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-ur 15653  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036
  Copyright terms: Public domain W3C validator