MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnsub Unicode version

Theorem lspsnsub 15857
Description: Swapping subtraction order does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnsub.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnsub.s  |-  .-  =  ( -g `  W )
lspsnsub.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnsub.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnsub.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsnsub.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsnsub  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( Y  .-  X
) } ) )

Proof of Theorem lspsnsub
StepHypRef Expression
1 lspsnsub.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspsnsub.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lspsnsub.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 lspsnsub.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspsnsub.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
64, 5lmodvsubcl 15763 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
71, 2, 3, 6syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
8 eqid 2358 . . . 4  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
9 lspsnsub.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
104, 8, 9lspsnneg 15856 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  ( X  .-  Y ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )
111, 7, 10syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( inv g `  W ) `  ( X  .-  Y ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )
12 lmodgrp 15727 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
131, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
144, 5, 8grpinvsub 14641 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( inv g `  W ) `  ( X  .-  Y ) )  =  ( Y  .-  X ) )
1513, 2, 3, 14syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  ( X  .-  Y ) )  =  ( Y  .-  X ) )
1615sneqd 3729 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( ( inv g `  W ) `
 ( X  .-  Y ) ) }  =  { ( Y 
.-  X ) } )
1716fveq2d 5609 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( inv g `  W ) `  ( X  .-  Y ) ) } )  =  ( N `  { ( Y  .-  X ) } ) )
1811, 17eqtr3d 2392 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( Y  .-  X
) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   {csn 3716   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   Grpcgrp 14455   inv gcminusg 14456   -gcsg 14458   LModclmod 15720   LSpanclspn 15821
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  31952  baerlem5blem2  31954  mapdheq2  31971  hdmap1neglem1N  32070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-plusg 13312  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435  df-lmod 15722  df-lss 15783  df-lsp 15822
  Copyright terms: Public domain W3C validator