MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnsub Structured version   Unicode version

Theorem lspsnsub 16088
Description: Swapping subtraction order does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnsub.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnsub.s  |-  .-  =  ( -g `  W )
lspsnsub.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnsub.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnsub.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsnsub.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsnsub  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( Y  .-  X
) } ) )

Proof of Theorem lspsnsub
StepHypRef Expression
1 lspsnsub.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspsnsub.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lspsnsub.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 lspsnsub.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspsnsub.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
64, 5lmodvsubcl 15994 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
71, 2, 3, 6syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
8 eqid 2438 . . . 4  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
9 lspsnsub.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
104, 8, 9lspsnneg 16087 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  ( X  .-  Y ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )
111, 7, 10syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( inv g `  W ) `  ( X  .-  Y ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )
12 lmodgrp 15962 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
131, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
144, 5, 8grpinvsub 14876 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( inv g `  W ) `  ( X  .-  Y ) )  =  ( Y  .-  X ) )
1513, 2, 3, 14syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  ( X  .-  Y ) )  =  ( Y  .-  X ) )
1615sneqd 3829 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( ( inv g `  W ) `
 ( X  .-  Y ) ) }  =  { ( Y 
.-  X ) } )
1716fveq2d 5735 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( inv g `  W ) `  ( X  .-  Y ) ) } )  =  ( N `  { ( Y  .-  X ) } ) )
1811, 17eqtr3d 2472 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( Y  .-  X
) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   {csn 3816   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   Grpcgrp 14690   inv gcminusg 14691   -gcsg 14693   LModclmod 15955   LSpanclspn 16052
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  32582  baerlem5blem2  32584  mapdheq2  32601  hdmap1neglem1N  32700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053
  Copyright terms: Public domain W3C validator