Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnsubn0 Structured version   Unicode version

Theorem lspsnsubn0 16217
 Description: Unequal singleton spans imply nonzero vector subtraction. (Contributed by NM, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnsubn0.v
lspsnsubn0.o
lspsnsubn0.m
lspsnsubn0.w
lspsnsubn0.x
lspsnsubn0.y
lspsnsubn0.e
Assertion
Ref Expression
lspsnsubn0

Proof of Theorem lspsnsubn0
StepHypRef Expression
1 lspsnsubn0.e . 2
2 lspsnsubn0.w . . . . 5
3 lspsnsubn0.x . . . . 5
4 lspsnsubn0.y . . . . 5
5 lspsnsubn0.v . . . . . 6
6 lspsnsubn0.o . . . . . 6
7 lspsnsubn0.m . . . . . 6
85, 6, 7lmodsubeq0 16008 . . . . 5
92, 3, 4, 8syl3anc 1185 . . . 4
10 sneq 3827 . . . . 5
1110fveq2d 5735 . . . 4
129, 11syl6bi 221 . . 3
1312necon3d 2641 . 2
141, 13mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  csn 3816  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474  c0g 13728  csg 14693  clmod 15955 This theorem is referenced by:  mapdpglem4N  32548 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-lmod 15957
 Copyright terms: Public domain W3C validator