MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsntrim Unicode version

Theorem lspsntrim 15867
Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsntrim.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsntrim.s  |-  .-  =  ( -g `  W )
lspsntrim.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lspsntrim.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsntrim  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  C_  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )

Proof of Theorem lspsntrim
StepHypRef Expression
1 lspsntrim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
31, 2lmodvnegcl 15681 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( inv g `  W ) `  Y
)  e.  V )
433adant2 974 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( inv g `  W ) `  Y
)  e.  V )
5 eqid 2296 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
6 lspsntrim.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
7 lspsntrim.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
81, 5, 6, 7lspsntri 15866 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( inv g `  W ) `  Y
)  e.  V )  ->  ( N `  { ( X ( +g  `  W ) ( ( inv g `  W ) `  Y
) ) } ) 
C_  ( ( N `
 { X }
)  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Y ) } ) ) )
94, 8syld3an3 1227 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X ( +g  `  W
) ( ( inv g `  W ) `
 Y ) ) } )  C_  (
( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { ( ( inv g `  W
) `  Y ) } ) ) )
10 lspsntrim.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  W )
111, 5, 2, 10grpsubval 14541 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( inv g `  W ) `
 Y ) ) )
1211sneqd 3666 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { ( X  .-  Y ) }  =  { ( X ( +g  `  W ) ( ( inv g `  W ) `  Y
) ) } )
1312fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( X ( +g  `  W ) ( ( inv g `  W
) `  Y )
) } ) )
14133adant1 973 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  =  ( N `
 { ( X ( +g  `  W
) ( ( inv g `  W ) `
 Y ) ) } ) )
151, 2, 6lspsnneg 15779 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Y
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
16153adant2 974 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Y
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
1716eqcomd 2301 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `  Y
) } ) )
1817oveq2d 5890 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) )  =  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { ( ( inv g `  W
) `  Y ) } ) ) )
199, 14, 183sstr4d 3234 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  C_  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381   LSSumclsm 14961   LModclmod 15643   LSpanclspn 15744
This theorem is referenced by:  mapdpglem1  32484  baerlem3lem2  32522  baerlem5alem2  32523  baerlem5blem2  32524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745
  Copyright terms: Public domain W3C validator