MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsntrim Unicode version

Theorem lspsntrim 16098
Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsntrim.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsntrim.s  |-  .-  =  ( -g `  W )
lspsntrim.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lspsntrim.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsntrim  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  C_  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )

Proof of Theorem lspsntrim
StepHypRef Expression
1 lspsntrim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
31, 2lmodvnegcl 15913 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( inv g `  W ) `  Y
)  e.  V )
433adant2 976 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( inv g `  W ) `  Y
)  e.  V )
5 eqid 2388 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
6 lspsntrim.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
7 lspsntrim.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
81, 5, 6, 7lspsntri 16097 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( inv g `  W ) `  Y
)  e.  V )  ->  ( N `  { ( X ( +g  `  W ) ( ( inv g `  W ) `  Y
) ) } ) 
C_  ( ( N `
 { X }
)  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Y ) } ) ) )
94, 8syld3an3 1229 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X ( +g  `  W
) ( ( inv g `  W ) `
 Y ) ) } )  C_  (
( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { ( ( inv g `  W
) `  Y ) } ) ) )
10 lspsntrim.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  W )
111, 5, 2, 10grpsubval 14776 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( inv g `  W ) `
 Y ) ) )
1211sneqd 3771 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { ( X  .-  Y ) }  =  { ( X ( +g  `  W ) ( ( inv g `  W ) `  Y
) ) } )
1312fveq2d 5673 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( X ( +g  `  W ) ( ( inv g `  W
) `  Y )
) } ) )
14133adant1 975 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  =  ( N `
 { ( X ( +g  `  W
) ( ( inv g `  W ) `
 Y ) ) } ) )
151, 2, 6lspsnneg 16010 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Y
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
16153adant2 976 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Y
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
1716eqcomd 2393 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `  Y
) } ) )
1817oveq2d 6037 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) )  =  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { ( ( inv g `  W
) `  Y ) } ) ) )
199, 14, 183sstr4d 3335 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  C_  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3264   {csn 3758   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   inv gcminusg 14614   -gcsg 14616   LSSumclsm 15196   LModclmod 15878   LSpanclspn 15975
This theorem is referenced by:  mapdpglem1  31788  baerlem3lem2  31826  baerlem5alem2  31827  baerlem5blem2  31828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-subg 14869  df-cntz 15044  df-lsm 15198  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976
  Copyright terms: Public domain W3C validator