Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsolv Structured version   Unicode version

Theorem lspsolv 16207
 Description: If is in the span of but not , then is in the span of . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v
lspsolv.s
lspsolv.n
Assertion
Ref Expression
lspsolv

Proof of Theorem lspsolv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.v . . 3
2 lspsolv.s . . 3
3 lspsolv.n . . 3
4 eqid 2435 . . 3 Scalar Scalar
5 eqid 2435 . . 3 Scalar Scalar
6 eqid 2435 . . 3
7 eqid 2435 . . 3
8 eqid 2435 . . 3 Scalar Scalar
9 lveclmod 16170 . . . 4
11 simpr1 963 . . 3
12 simpr2 964 . . 3
13 simpr3 965 . . . 4
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14lspsolvlem 16206 . 2 Scalar
164lvecdrng 16169 . . . . . . 7 Scalar
1716ad2antrr 707 . . . . . 6 Scalar Scalar
18 simprl 733 . . . . . 6 Scalar Scalar
1910adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
2012adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
21 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
22 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
231, 4, 7, 21, 22lmod0vs 15975 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
2419, 20, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
2524oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
2611adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
2720snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
2826, 27unssd 3515 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
291, 3lspssv 16051 . . . . . . . . . . . . . 14
3019, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
3130ssdifssd 3477 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
3213adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
3331, 32sseldd 3341 . . . . . . . . . . 11 Scalar
341, 6, 22lmod0vrid 15973 . . . . . . . . . . 11
3519, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 Scalar
3625, 35eqtrd 2467 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
3736, 32eqeltrd 2509 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
3837eldifbd 3325 . . . . . . 7 Scalar Scalar
39 simprr 734 . . . . . . . . 9 Scalar
40 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
4140oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
4241eleq1d 2501 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
4339, 42syl5ibcom 212 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
4443necon3bd 2635 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
4538, 44mpd 15 . . . . . 6 Scalar Scalar
46 eqid 2435 . . . . . . 7 Scalar Scalar
47 eqid 2435 . . . . . . 7 Scalar Scalar
48 eqid 2435 . . . . . . 7 Scalar Scalar
495, 21, 46, 47, 48drnginvrl 15846 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
5017, 18, 45, 49syl3anc 1184 . . . . 5 Scalar ScalarScalar Scalar
5150oveq1d 6088 . . . 4 Scalar ScalarScalar Scalar
525, 21, 48drnginvrcl 15844 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
5317, 18, 45, 52syl3anc 1184 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
541, 4, 7, 5, 46lmodvsass 15967 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
5519, 53, 18, 20, 54syl13anc 1186 . . . 4 Scalar ScalarScalar Scalar
561, 4, 7, 47lmodvs1 15970 . . . . 5 Scalar
5719, 20, 56syl2anc 643 . . . 4 Scalar Scalar
5851, 55, 573eqtr3d 2475 . . 3 Scalar Scalar
5933snssd 3935 . . . . . 6 Scalar
6026, 59unssd 3515 . . . . 5 Scalar
611, 2, 3lspcl 16044 . . . . 5
6219, 60, 61syl2anc 643 . . . 4 Scalar
631, 4, 7, 5lmodvscl 15959 . . . . . . 7 Scalar
6419, 18, 20, 63syl3anc 1184 . . . . . 6 Scalar
65 eqid 2435 . . . . . . 7
661, 6, 65lmodvpncan 15989 . . . . . 6
6719, 64, 33, 66syl3anc 1184 . . . . 5 Scalar
681, 6lmodcom 15982 . . . . . . . 8
6919, 64, 33, 68syl3anc 1184 . . . . . . 7 Scalar
70 ssun1 3502 . . . . . . . . . 10
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 Scalar
721, 3lspss 16052 . . . . . . . . 9
7319, 60, 71, 72syl3anc 1184 . . . . . . . 8 Scalar
7473, 39sseldd 3341 . . . . . . 7 Scalar
7569, 74eqeltrd 2509 . . . . . 6 Scalar
761, 3lspssid 16053 . . . . . . . 8
7719, 60, 76syl2anc 643 . . . . . . 7 Scalar
78 snidg 3831 . . . . . . . 8
79 elun2 3507 . . . . . . . 8
8033, 78, 793syl 19 . . . . . . 7 Scalar
8177, 80sseldd 3341 . . . . . 6 Scalar
8265, 2lssvsubcl 16012 . . . . . 6
8319, 62, 75, 81, 82syl22anc 1185 . . . . 5 Scalar
8467, 83eqeltrrd 2510 . . . 4 Scalar
854, 7, 5, 2lssvscl 16023 . . . 4 Scalar Scalar Scalar
8619, 62, 53, 84, 85syl22anc 1185 . . 3 Scalar Scalar
8758, 86eqeltrrd 2510 . 2 Scalar
8815, 87rexlimddv 2826 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698  crab 2701   cdif 3309   cun 3310   wss 3312  csn 3806  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  c0g 13715  csg 14680  cur 15654  cinvr 15768  cdr 15827  clmod 15942  clss 16000  clspn 16039  clvec 16166 This theorem is referenced by:  lssacsex  16208  lspsnat  16209  lsppratlem1  16211  lsppratlem3  16213  lsppratlem4  16214  lbsextlem4  16225 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167
 Copyright terms: Public domain W3C validator