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Theorem lspsolv 16207
Description: If  X is in the span of  A  u.  { Y } but not  A, then  Y is in the span of  A  u.  { X }. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsolv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsolv.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsolv  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( A  u.  { X }
) ) )

Proof of Theorem lspsolv
Dummy variables  r 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspsolv.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspsolv.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 eqid 2435 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
6 eqid 2435 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
7 eqid 2435 . . 3  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
8 eqid 2435 . . 3  |-  { z  e.  V  |  E. r  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) ( z ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) )  e.  ( N `  A ) }  =  { z  e.  V  |  E. r  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) ( z ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) )  e.  ( N `  A ) }
9 lveclmod 16170 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
109adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
11 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  A  C_  V
)
12 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  Y  e.  V
)
13 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) )
1413eldifad 3324 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( A  u.  { Y }
) ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14lspsolvlem 16206 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  E. r  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) )
164lvecdrng 16169 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
1716ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  DivRing )
18 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
1910adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  W  e.  LMod )
2012adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  Y  e.  V )
21 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
22 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
231, 4, 7, 21, 22lmod0vs 15975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  ( 0g `  W ) )
2419, 20, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( 0g `  W
) )
2524oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( X ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )
2611adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  A  C_  V )
2720snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  { Y }  C_  V
)
2826, 27unssd 3515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( A  u.  { Y } )  C_  V
)
291, 3lspssv 16051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { Y } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  V )
3019, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  V )
3130ssdifssd 3477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) )  C_  V
)
3213adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \  ( N `
 A ) ) )
3331, 32sseldd 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  V )
341, 6, 22lmod0vrid 15973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  X )
3519, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  X )
3625, 35eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  X )
3736, 32eqeltrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) )
3837eldifbd 3325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  -.  ( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) )
39 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  A ) )
40 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  ( r ( .s `  W ) Y )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )
4140oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  ( X ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) ) )
4241eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  ( ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
)  <->  ( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  A ) ) )
4339, 42syl5ibcom 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )
4443necon3bd 2635 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( -.  ( X ( +g  `  W
) ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `
 A )  -> 
r  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
4538, 44mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
r  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
46 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  W )
)
47 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
48 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( invr `  (Scalar `  W )
)  =  ( invr `  (Scalar `  W )
)
495, 21, 46, 47, 48drnginvrl 15846 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  r  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( (
invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) r )  =  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )
5017, 18, 45, 49syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )
( .r `  (Scalar `  W ) ) r )  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
) )
5150oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( (
invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) r ) ( .s
`  W ) Y )  =  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )
525, 21, 48drnginvrcl 15844 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  r  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
5317, 18, 45, 52syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
541, 4, 7, 5, 46lmodvsass 15967 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r ) ( .r
`  (Scalar `  W )
) r ) ( .s `  W ) Y )  =  ( ( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r ) ( .s
`  W ) ( r ( .s `  W ) Y ) ) )
5519, 53, 18, 20, 54syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( (
invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) r ) ( .s
`  W ) Y )  =  ( ( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r ) ( .s
`  W ) ( r ( .s `  W ) Y ) ) )
561, 4, 7, 47lmodvs1 15970 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  Y )
5719, 20, 56syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y )  =  Y )
5851, 55, 573eqtr3d 2475 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )
( .s `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  =  Y )
5933snssd 3935 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  { X }  C_  V
)
6026, 59unssd 3515 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( A  u.  { X } )  C_  V
)
611, 2, 3lspcl 16044 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { X } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )
6219, 60, 61syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )
631, 4, 7, 5lmodvscl 15959 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  V )  ->  ( r ( .s
`  W ) Y )  e.  V )
6419, 18, 20, 63syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( r ( .s
`  W ) Y )  e.  V )
65 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
661, 6, 65lmodvpncan 15989 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
r ( .s `  W ) Y )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) ( -g `  W
) X )  =  ( r ( .s
`  W ) Y ) )
6719, 64, 33, 66syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( r ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) ( -g `  W ) X )  =  ( r ( .s `  W ) Y ) )
681, 6lmodcom 15982 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
r ( .s `  W ) Y )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( r ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X )  =  ( X ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) ) )
6919, 64, 33, 68syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X )  =  ( X ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) ) )
70 ssun1 3502 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  ( A  u.  { X } )
7170a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  A  C_  ( A  u.  { X } ) )
721, 3lspss 16052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { X } )  C_  V  /\  A  C_  ( A  u.  { X }
) )  ->  ( N `  A )  C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
7319, 60, 71, 72syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( N `  A
)  C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
7473, 39sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
7569, 74eqeltrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
761, 3lspssid 16053 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { X } )  C_  V
)  ->  ( A  u.  { X } ) 
C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
7719, 60, 76syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( A  u.  { X } )  C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
78 snidg 3831 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { X } )
79 elun2 3507 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  { X }  ->  X  e.  ( A  u.  { X }
) )
8033, 78, 793syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  ( A  u.  { X } ) )
8177, 80sseldd 3341 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8265, 2lssvsubcl 16012 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )  /\  (
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  /\  X  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) ) )  ->  ( (
( r ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) (
-g `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X }
) ) )
8319, 62, 75, 81, 82syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( r ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) ( -g `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8467, 83eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( r ( .s
`  W ) Y )  e.  ( N `
 ( A  u.  { X } ) ) )
854, 7, 5, 2lssvscl 16023 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )  /\  (
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
r ( .s `  W ) Y )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) ) )  ->  ( (
( invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .s `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8619, 62, 53, 84, 85syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )
( .s `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8758, 86eqeltrrd 2510 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8815, 87rexlimddv 2826 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( A  u.  { X }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   {crab 2701    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   0gc0g 13715   -gcsg 14680   1rcur 15654   invrcinvr 15768   DivRingcdr 15827   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   LSpanclspn 16039   LVecclvec 16166
This theorem is referenced by:  lssacsex  16208  lspsnat  16209  lsppratlem1  16211  lsppratlem3  16213  lsppratlem4  16214  lbsextlem4  16225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167
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