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Theorem lspsolv 15896
Description: If  X is in the span of  A  u.  { Y } but not  A, then  Y is in the span of  A  u.  { X }. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsolv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsolv.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsolv  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( A  u.  { X }
) ) )

Proof of Theorem lspsolv
Dummy variables  r 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspsolv.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspsolv.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 eqid 2283 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
6 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
7 eqid 2283 . . 3  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
8 eqid 2283 . . 3  |-  { z  e.  V  |  E. r  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) ( z ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) )  e.  ( N `  A ) }  =  { z  e.  V  |  E. r  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) ( z ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) )  e.  ( N `  A ) }
9 lveclmod 15859 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
109adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
11 simpr1 961 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  A  C_  V
)
12 simpr2 962 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  Y  e.  V
)
13 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) )
14 eldifi 3298 . . . 4  |-  ( X  e.  ( ( N `
 ( A  u.  { Y } ) ) 
\  ( N `  A ) )  ->  X  e.  ( N `  ( A  u.  { Y } ) ) )
1513, 14syl 15 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( A  u.  { Y }
) ) )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15lspsolvlem 15895 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  E. r  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) )
174lvecdrng 15858 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
1817ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  DivRing )
19 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
2010adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  W  e.  LMod )
2112adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  Y  e.  V )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
23 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
241, 4, 7, 22, 23lmod0vs 15663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  ( 0g `  W ) )
2520, 21, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( 0g `  W
) )
2625oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( X ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )
27 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N `  ( A  u.  { Y }
) )  \  ( N `  A )
)  C_  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )
2811adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  A  C_  V )
2921snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  { Y }  C_  V
)
3028, 29unssd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( A  u.  { Y } )  C_  V
)
311, 3lspssv 15740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { Y } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  V )
3220, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  V )
3327, 32syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) )  C_  V
)
3413adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \  ( N `
 A ) ) )
3533, 34sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  V )
361, 6, 23lmod0vrid 15661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  X )
3720, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  X )
3826, 37eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  X )
3938, 34eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) )
40 eldifn 3299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X ( +g  `  W
) ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y }
) )  \  ( N `  A )
)  ->  -.  ( X ( +g  `  W
) ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `
 A ) )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  -.  ( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) )
42 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  A ) )
43 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  ( r ( .s `  W ) Y )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )
4443oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  ( X ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) ) )
4544eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  ( ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
)  <->  ( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  A ) ) )
4642, 45syl5ibcom 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )
4746necon3bd 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( -.  ( X ( +g  `  W
) ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `
 A )  -> 
r  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
4841, 47mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
r  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
49 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  W )
)
50 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
51 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( invr `  (Scalar `  W )
)  =  ( invr `  (Scalar `  W )
)
525, 22, 49, 50, 51drnginvrl 15531 . . . . . . . 8  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  r  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( (
invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) r )  =  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )
5318, 19, 48, 52syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )
( .r `  (Scalar `  W ) ) r )  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
) )
5453oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( (
invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) r ) ( .s
`  W ) Y )  =  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )
555, 22, 51drnginvrcl 15529 . . . . . . . 8  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  r  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
5618, 19, 48, 55syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
571, 4, 7, 5, 49lmodvsass 15654 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r ) ( .r
`  (Scalar `  W )
) r ) ( .s `  W ) Y )  =  ( ( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r ) ( .s
`  W ) ( r ( .s `  W ) Y ) ) )
5820, 56, 19, 21, 57syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( (
invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) r ) ( .s
`  W ) Y )  =  ( ( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r ) ( .s
`  W ) ( r ( .s `  W ) Y ) ) )
591, 4, 7, 50lmodvs1 15658 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  Y )
6020, 21, 59syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y )  =  Y )
6154, 58, 603eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )
( .s `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  =  Y )
6235snssd 3760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  { X }  C_  V
)
6328, 62unssd 3351 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( A  u.  { X } )  C_  V
)
641, 2, 3lspcl 15733 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { X } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )
6520, 63, 64syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )
661, 4, 7, 5lmodvscl 15644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  V )  ->  ( r ( .s
`  W ) Y )  e.  V )
6720, 19, 21, 66syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( r ( .s
`  W ) Y )  e.  V )
68 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
691, 6, 68lmodvpncan 15678 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
r ( .s `  W ) Y )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) ( -g `  W
) X )  =  ( r ( .s
`  W ) Y ) )
7020, 67, 35, 69syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( r ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) ( -g `  W ) X )  =  ( r ( .s `  W ) Y ) )
711, 6lmodcom 15671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
r ( .s `  W ) Y )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( r ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X )  =  ( X ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) ) )
7220, 67, 35, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X )  =  ( X ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) ) )
73 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  { X } )
7473a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  A  C_  ( A  u.  { X } ) )
751, 3lspss 15741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { X } )  C_  V  /\  A  C_  ( A  u.  { X }
) )  ->  ( N `  A )  C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
7620, 63, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( N `  A
)  C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
7776, 42sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
7872, 77eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
791, 3lspssid 15742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { X } )  C_  V
)  ->  ( A  u.  { X } ) 
C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8020, 63, 79syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( A  u.  { X } )  C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
81 snidg 3665 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { X } )
82 elun2 3343 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  { X }  ->  X  e.  ( A  u.  { X }
) )
8335, 81, 823syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  ( A  u.  { X } ) )
8480, 83sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8568, 2lssvsubcl 15701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )  /\  (
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  /\  X  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) ) )  ->  ( (
( r ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) (
-g `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X }
) ) )
8620, 65, 78, 84, 85syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( r ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) ( -g `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8770, 86eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( r ( .s
`  W ) Y )  e.  ( N `
 ( A  u.  { X } ) ) )
884, 7, 5, 2lssvscl 15712 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )  /\  (
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
r ( .s `  W ) Y )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) ) )  ->  ( (
( invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .s `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8920, 65, 56, 87, 88syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )
( .s `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
9061, 89eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
9190expr 598 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  r  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )  -> 
( ( X ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) )  e.  ( N `  A )  ->  Y  e.  ( N `  ( A  u.  { X }
) ) ) )
9291rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  ( E. r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
)  ->  Y  e.  ( N `  ( A  u.  { X }
) ) ) )
9316, 92mpd 14 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( A  u.  { X }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   -gcsg 14365   1rcur 15339   invrcinvr 15453   DivRingcdr 15512   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  lssacsex  15897  lspsnat  15898  lsppratlem1  15900  lsppratlem3  15902  lsppratlem4  15903  lbsextlem4  15914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856
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