Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsolv Unicode version

Theorem lspsolv 15912
 Description: If is in the span of but not , then is in the span of . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v
lspsolv.s
lspsolv.n
Assertion
Ref Expression
lspsolv

Proof of Theorem lspsolv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.v . . 3
2 lspsolv.s . . 3
3 lspsolv.n . . 3
4 eqid 2296 . . 3 Scalar Scalar
5 eqid 2296 . . 3 Scalar Scalar
6 eqid 2296 . . 3
7 eqid 2296 . . 3
8 eqid 2296 . . 3 Scalar Scalar
9 lveclmod 15875 . . . 4
11 simpr1 961 . . 3
12 simpr2 962 . . 3
13 simpr3 963 . . . 4
14 eldifi 3311 . . . 4
1513, 14syl 15 . . 3
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15lspsolvlem 15911 . 2 Scalar
174lvecdrng 15874 . . . . . . . . 9 Scalar
1817ad2antrr 706 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
19 simprl 732 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
2010adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
2112adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
22 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
23 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
241, 4, 7, 22, 23lmod0vs 15679 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
2520, 21, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
2625oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
27 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . 15
2811adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
2921snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
3028, 29unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
311, 3lspssv 15756 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3220, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
3327, 32syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
3413adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
3533, 34sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
361, 6, 23lmod0vrid 15677 . . . . . . . . . . . . 13
3720, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
3826, 37eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
3938, 34eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
40 eldifn 3312 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
4139, 40syl 15 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
42 simprr 733 . . . . . . . . . . 11 Scalar
43 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
4443oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
4544eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
4642, 45syl5ibcom 211 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar Scalar
4746necon3bd 2496 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar
4841, 47mpd 14 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
49 eqid 2296 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
50 eqid 2296 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
51 eqid 2296 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
525, 22, 49, 50, 51drnginvrl 15547 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
5318, 19, 48, 52syl3anc 1182 . . . . . . 7 Scalar ScalarScalar Scalar
5453oveq1d 5889 . . . . . 6 Scalar ScalarScalar Scalar
555, 22, 51drnginvrcl 15545 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
5618, 19, 48, 55syl3anc 1182 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
571, 4, 7, 5, 49lmodvsass 15670 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
5820, 56, 19, 21, 57syl13anc 1184 . . . . . 6 Scalar ScalarScalar Scalar
591, 4, 7, 50lmodvs1 15674 . . . . . . 7 Scalar
6020, 21, 59syl2anc 642 . . . . . 6 Scalar Scalar
6154, 58, 603eqtr3d 2336 . . . . 5 Scalar Scalar
6235snssd 3776 . . . . . . . 8 Scalar
6328, 62unssd 3364 . . . . . . 7 Scalar
641, 2, 3lspcl 15749 . . . . . . 7
6520, 63, 64syl2anc 642 . . . . . 6 Scalar
661, 4, 7, 5lmodvscl 15660 . . . . . . . . 9 Scalar
6720, 19, 21, 66syl3anc 1182 . . . . . . . 8 Scalar
68 eqid 2296 . . . . . . . . 9
691, 6, 68lmodvpncan 15694 . . . . . . . 8
7020, 67, 35, 69syl3anc 1182 . . . . . . 7 Scalar
711, 6lmodcom 15687 . . . . . . . . . 10
7220, 67, 35, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . 9 Scalar
73 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . 12
7473a1i 10 . . . . . . . . . . 11 Scalar
751, 3lspss 15757 . . . . . . . . . . 11
7620, 63, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10 Scalar
7776, 42sseldd 3194 . . . . . . . . 9 Scalar
7872, 77eqeltrd 2370 . . . . . . . 8 Scalar
791, 3lspssid 15758 . . . . . . . . . 10
8020, 63, 79syl2anc 642 . . . . . . . . 9 Scalar
81 snidg 3678 . . . . . . . . . 10
82 elun2 3356 . . . . . . . . . 10
8335, 81, 823syl 18 . . . . . . . . 9 Scalar
8480, 83sseldd 3194 . . . . . . . 8 Scalar
8568, 2lssvsubcl 15717 . . . . . . . 8
8620, 65, 78, 84, 85syl22anc 1183 . . . . . . 7 Scalar
8770, 86eqeltrrd 2371 . . . . . 6 Scalar
884, 7, 5, 2lssvscl 15728 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
8920, 65, 56, 87, 88syl22anc 1183 . . . . 5 Scalar Scalar
9061, 89eqeltrrd 2371 . . . 4 Scalar
9190expr 598 . . 3 Scalar
9291rexlimdva 2680 . 2 Scalar
9316, 92mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wrex 2557  crab 2560   cdif 3162   cun 3163   wss 3165  csn 3653  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   cplusg 13224  cmulr 13225  Scalarcsca 13227  cvsca 13228  c0g 13416  csg 14381  cur 15355  cinvr 15469  cdr 15528  clmod 15643  clss 15705  clspn 15744  clvec 15871 This theorem is referenced by:  lssacsex  15913  lspsnat  15914  lsppratlem1  15916  lsppratlem3  15918  lsppratlem4  15919  lbsextlem4  15930 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872
 Copyright terms: Public domain W3C validator