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Theorem lspsolvlem 16142
Description: Lemma for lspsolv 16143. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsolv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsolv.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsolv.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lspsolv.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
lspsolv.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspsolv.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsolv.q  |-  Q  =  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) }
lspsolv.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsolv.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  V )
lspsolv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspsolv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( A  u.  { Y } ) ) )
Assertion
Ref Expression
lspsolvlem  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
Distinct variable groups:    z, r, A    B, r, z    N, r, z    ph, z    F, r    S, r    V, r, z    W, r, z    .+ , r,
z    .x. , r, z    X, r, z    Y, r, z
Allowed substitution hints:    ph( r)    Q( z, r)    S( z)    F( z)

Proof of Theorem lspsolvlem
Dummy variables  s 
t  x  y  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspsolv.q . . . . . . 7  |-  Q  =  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) }
3 ssrab2 3372 . . . . . . 7  |-  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) }  C_  V
42, 3eqsstri 3322 . . . . . 6  |-  Q  C_  V
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  C_  V )
6 lspsolv.ss . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  V )
71adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  W  e.  LMod )
8 lspsolv.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  (Scalar `  W )
9 lspsolv.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
118, 9, 10lmod0cl 15904 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  F )  e.  B )
127, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( 0g `  F )  e.  B )
13 lspsolv.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 lspsolv.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 lspsolv.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( .s `  W )
16 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
1714, 8, 15, 10, 16lmod0vs 15911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )  =  ( 0g `  W ) )
181, 13, 17syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  F )  .x.  Y
)  =  ( 0g
`  W ) )
1918adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )  =  ( 0g `  W ) )
2019oveq2d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  =  ( z  .+  ( 0g `  W ) ) )
216sselda 3292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  V )
22 lspsolv.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2314, 22, 16lmod0vrid 15909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  (
z  .+  ( 0g `  W ) )  =  z )
247, 21, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( 0g `  W ) )  =  z )
2520, 24eqtrd 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  =  z )
26 lspsolv.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2714, 26lspssid 15989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  C_  V )  ->  A  C_  ( N `  A
) )
281, 6, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  ( N `  A ) )
2928sselda 3292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( N `  A
) )
3025, 29eqeltrd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
31 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( ( 0g
`  F )  .x.  Y ) )
3231oveq2d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( z  .+  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )
) )
3332eleq1d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
3433rspcev 2996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0g `  F
)  e.  B  /\  ( z  .+  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  ->  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )
3512, 30, 34syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  E. r  e.  B  ( z  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
366, 35ssrabdv 3366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) } )
3736, 2syl6sseqr 3339 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  Q )
388lmodfgrp 15887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
391, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
40 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
418, 9, 40lmod1cl 15905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  F )  e.  B )
421, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  B )
43 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv g `  F )  =  ( inv g `  F )
449, 43grpinvcl 14778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  B )  -> 
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B )
4539, 42, 44syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B )
46 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
4714, 46, 8, 15, 40, 43lmodvneg1 15915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y )  =  ( ( inv g `  W ) `  Y
) )
481, 13, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  =  ( ( inv g `  W ) `  Y
) )
4948oveq2d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `  Y
) ) )
50 lmodgrp 15885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
511, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5214, 22, 16, 46grprinv 14780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Y
) )  =  ( 0g `  W ) )
5351, 13, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Y
) )  =  ( 0g `  W ) )
5449, 53eqtrd 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( 0g `  W ) )
55 lspsolv.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5614, 55, 26lspcl 15980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  C_  V )  ->  ( N `  A )  e.  S )
571, 6, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  S )
5816, 55lss0cl 15951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  A )  e.  S )  ->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  A
) )
591, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0g `  W
)  e.  ( N `
 A ) )
6054, 59eqeltrd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
61 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( r  .x.  Y
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )
6261oveq2d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( Y  .+  (
r  .x.  Y )
)  =  ( Y 
.+  ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
6362eleq1d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  <-> 
( Y  .+  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) ) )
6463rspcev 2996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B  /\  ( Y  .+  ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
6545, 60, 64syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
66 oveq1 6028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( Y  .+  (
r  .x.  Y )
) )
6766eleq1d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Y  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
6867rexbidv 2671 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
6968, 2elrab2 3038 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Q  <->  ( Y  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
7013, 65, 69sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  Q )
7170snssd 3887 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  Q )
7237, 71unssd 3467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { Y } )  C_  Q
)
7314, 26lspss 15988 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  C_  V  /\  ( A  u.  { Y }
)  C_  Q )  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  ( N `  Q ) )
741, 5, 72, 73syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  ( N `  Q ) )
758a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  W ) )
769a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  F ) )
7714a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  W ) )
7822a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  W ) )
7915a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .s
`  W ) )
8055a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  ( LSubSp `  W ) )
81 ne0i 3578 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Q  ->  Q  =/=  (/) )
8270, 81syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  =/=  (/) )
83 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( x  .+  (
r  .x.  Y )
) )
8483eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( x  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
8584rexbidv 2671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( x  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
86 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( s  .x.  Y ) )
8786oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  s  ->  (
x  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
) )
8887eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  s  ->  (
( x  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
8988cbvrexv 2877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  B  ( x  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  <->  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
9085, 89syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9190, 2elrab2 3038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Q  <->  ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
92 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( y  .+  (
r  .x.  Y )
) )
9392eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9493rexbidv 2671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
95 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  t  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( t  .x.  Y ) )
9695oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  t  ->  (
y  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
) )
9796eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  t  ->  (
( y  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9897cbvrexv 2877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  B  ( y  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  <->  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
9994, 98syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
10099, 2elrab2 3038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Q  <->  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
10191, 100anbi12i 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q  /\  y  e.  Q )  <->  ( ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )  /\  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) ) )
102 an4 798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )  /\  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) )  <->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) ) ) )
103101, 102bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Q  /\  y  e.  Q )  <->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( E. s  e.  B  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
)  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) ) )
104 reeanv 2819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  B  E. t  e.  B  (
( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  <-> 
( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
105 simp1ll 1020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  ph )
106105, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  W  e.  LMod )
107 simp1lr 1021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  a  e.  B )
108 simp1rl 1022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  x  e.  V )
10914, 8, 15, 9lmodvscl 15895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  x  e.  V )  ->  (
a  .x.  x )  e.  V )
110106, 107, 108, 109syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  x )  e.  V )
111 simp1rr 1023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  y  e.  V )
11214, 22lmodvacl 15892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  x )  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  V )
113106, 110, 111, 112syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  V )
114 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  s  e.  B )
115 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
1168, 9, 115lmodmcl 15890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  s  e.  B )  ->  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B )
117106, 107, 114, 116syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B )
118 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  t  e.  B )
119 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1208, 9, 119lmodacl 15889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  e.  B )
121106, 117, 118, 120syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  e.  B )
122105, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  Y  e.  V )
12314, 8, 15, 9lmodvscl 15895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
s  .x.  Y )  e.  V )
124106, 114, 122, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
s  .x.  Y )  e.  V )
12514, 8, 15, 9lmodvscl 15895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  (
s  .x.  Y )  e.  V )  ->  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  e.  V )
126106, 107, 124, 125syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  e.  V )
12714, 8, 15, 9lmodvscl 15895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  t  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
t  .x.  Y )  e.  V )
128106, 118, 122, 127syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
t  .x.  Y )  e.  V )
12914, 22lmod4 15922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a  .x.  x
)  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  e.  V  /\  ( t  .x.  Y
)  e.  V ) )  ->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )  =  ( ( ( a  .x.  x )  .+  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) ) )
130106, 110, 111, 126, 128, 129syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )  .+  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
13114, 22, 8, 15, 9, 119lmodvsdir 15902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a ( .r
`  F ) s )  e.  B  /\  t  e.  B  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F ) s )  .x.  Y
)  .+  ( t  .x.  Y ) ) )
132106, 117, 118, 122, 131syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F
) s )  .x.  Y )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
13314, 8, 15, 9, 115lmodvsass 15903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  e.  B  /\  s  e.  B  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
a ( .r `  F ) s ) 
.x.  Y )  =  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )
134106, 107, 114, 122, 133syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s )  .x.  Y )  =  ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) ) )
135134oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s )  .x.  Y
)  .+  ( t  .x.  Y ) )  =  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
136132, 135eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y )  =  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
137136oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
( a  .x.  (
s  .x.  Y )
)  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
13814, 22, 8, 15, 9lmodvsdi 15901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  e.  B  /\  x  e.  V  /\  ( s  .x.  Y
)  e.  V ) )  ->  ( a  .x.  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
) )  =  ( ( a  .x.  x
)  .+  ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) ) ) )
139106, 107, 108, 124, 138syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) ) )  =  ( ( a  .x.  x )  .+  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) ) ) )
140139oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )  .+  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
141130, 137, 1403eqtr4d 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  =  ( ( a  .x.  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) ) )  .+  ( y 
.+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
142105, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  ( N `  A )  e.  S )
143 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
144 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
1458, 9, 22, 15, 55lsscl 15947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N `  A
)  e.  S  /\  ( a  e.  B  /\  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) )  ->  ( (
a  .x.  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) ) )  .+  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
) )  e.  ( N `  A ) )
146142, 107, 143, 144, 145syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  e.  ( N `  A
) )
147141, 146eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
148 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )
149148oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y ) ) )
150149eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
151150rspcev 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t )  e.  B  /\  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
152121, 147, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
153 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
r  .x.  Y )
) )
154153eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
155154rexbidv 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
156155, 2elrab2 3038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q  <->  ( ( ( a  .x.  x ) 
.+  y )  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
157113, 152, 156sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q )
1581573exp 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( ( ( x 
.+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
)  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )  ->  ( (
a  .x.  x )  .+  y )  e.  Q
) ) )
159158rexlimdvv 2780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( E. s  e.  B  E. t  e.  B  (
( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  ->  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  e.  Q
) )
160104, 159syl5bir 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q ) )
161160expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q ) )
162103, 161syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( x  e.  Q  /\  y  e.  Q
)  ->  ( (
a  .x.  x )  .+  y )  e.  Q
) )
163162exp4b 591 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  ->  ( x  e.  Q  ->  ( y  e.  Q  ->  ( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q ) ) ) )
1641633imp2 1168 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  x  e.  Q  /\  y  e.  Q ) )  -> 
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q )
16575, 76, 77, 78, 79, 80, 5, 82, 164islssd 15940 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
16655, 26lspid 15986 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  S )  ->  ( N `  Q )  =  Q )
1671, 165, 166syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  Q
)  =  Q )
16874, 167sseqtrd 3328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  Q )
169 lspsolv.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( A  u.  { Y } ) ) )
170168, 169sseldd 3293 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  Q )
171 oveq1 6028 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  (
r  .x.  Y )
) )
172171eleq1d 2454 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
173172rexbidv 2671 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
174173, 2elrab2 3038 . . 3  |-  ( X  e.  Q  <->  ( X  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
175174simprbi 451 . 2  |-  ( X  e.  Q  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
176170, 175syl 16 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   E.wrex 2651   {crab 2654    u. cun 3262    C_ wss 3264   (/)c0 3572   {csn 3758   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   .rcmulr 13458  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   0gc0g 13651   Grpcgrp 14613   inv gcminusg 14614   1rcur 15590   LModclmod 15878   LSubSpclss 15936   LSpanclspn 15975
This theorem is referenced by:  lspsolv  16143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976
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