MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssid Unicode version

Theorem lspssid 15758
Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 21940 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspss.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspssid  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )

Proof of Theorem lspssid
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 3896 . 2  |-  U  C_  |^|
{ t  e.  (
LSubSp `  W )  |  U  C_  t }
2 lspss.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2296 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
4 lspss.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
52, 3, 4lspval 15748 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  =  |^| { t  e.  ( LSubSp `  W )  |  U  C_  t } )
61, 5syl5sseqr 3240 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    C_ wss 3165   |^|cint 3878   ` cfv 5271   Basecbs 13164   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744
This theorem is referenced by:  lspun  15760  lspsnid  15766  lsslsp  15788  lmhmlsp  15822  lsmsp  15855  lsmssspx  15857  lspvadd  15865  lspsolvlem  15911  lspsolv  15912  lsppratlem3  15918  lsppratlem4  15919  islbs3  15924  lbsextlem2  15928  lbsextlem4  15930  rspssid  15991  ocvlsp  16592  obselocv  16644  islssfg2  27272  frlmsslsp  27351  lindff1  27393  islinds3  27407  dochocsp  32191  djhunssN  32221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745
  Copyright terms: Public domain W3C validator