MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssid Structured version   Unicode version

Theorem lspssid 16061
Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 22847 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspss.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspssid  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )

Proof of Theorem lspssid
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4068 . 2  |-  U  C_  |^|
{ t  e.  (
LSubSp `  W )  |  U  C_  t }
2 lspss.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2436 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
4 lspss.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
52, 3, 4lspval 16051 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  =  |^| { t  e.  ( LSubSp `  W )  |  U  C_  t } )
61, 5syl5sseqr 3397 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    C_ wss 3320   |^|cint 4050   ` cfv 5454   Basecbs 13469   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008   LSpanclspn 16047
This theorem is referenced by:  lspun  16063  lspsnid  16069  lsslsp  16091  lmhmlsp  16125  lsmsp  16158  lsmssspx  16160  lspvadd  16168  lspsolvlem  16214  lspsolv  16215  lsppratlem3  16221  lsppratlem4  16222  islbs3  16227  lbsextlem2  16231  lbsextlem4  16233  rspssid  16294  ocvlsp  16903  obselocv  16955  islssfg2  27146  frlmsslsp  27225  lindff1  27267  islinds3  27281  dochocsp  32177  djhunssN  32207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048
  Copyright terms: Public domain W3C validator