MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssp Structured version   Unicode version

Theorem lspssp 16069
Description: If a set of vectors is a subset of a subspace, then the span of those vectors is also contained in the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspssp.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspssp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspssp  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  T )  C_  U )

Proof of Theorem lspssp
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lspssp.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 16018 . . 3  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
4 lspssp.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
51, 4lspss 16065 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  ( Base `  W
)  /\  T  C_  U
)  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  U )
)
63, 5syl3an2 1219 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  U
) )
72, 4lspid 16063 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U )  =  U )
873adant3 978 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  U )  =  U )
96, 8sseqtrd 3386 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  T )  C_  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ` cfv 5457   Basecbs 13474   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   LSpanclspn 16052
This theorem is referenced by:  lspsnss  16071  lspprss  16073  lsp0  16090  lsslsp  16096  lmhmlsp  16130  lspextmo  16137  lsmsp  16163  lsppratlem3  16226  lsppratlem4  16227  islbs3  16232  rspssp  16302  ocvlsp  16908  frlmsslsp  27239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-riota 6552  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053
  Copyright terms: Public domain W3C validator