MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsptpcl Unicode version

Theorem lsptpcl 15785
Description: The span of an unordered triple is a subspace (frequently used special case of lspcl 15782). (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspprcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lsptpcl.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsptpcl  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y ,  Z } )  e.  S
)

Proof of Theorem lsptpcl
StepHypRef Expression
1 lspprcl.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 df-tp 3682 . . 3  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
3 lspprcl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
4 lspprcl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
5 prssi 3808 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
7 lsptpcl.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
87snssd 3797 . . . 4  |-  ( ph  ->  { Z }  C_  V )
96, 8unssd 3385 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )  C_  V
)
102, 9syl5eqss 3256 . 2  |-  ( ph  ->  { X ,  Y ,  Z }  C_  V
)
11 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
12 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
13 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1411, 12, 13lspcl 15782 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y ,  Z }  C_  V )  ->  ( N `  { X ,  Y ,  Z } )  e.  S
)
151, 10, 14syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y ,  Z } )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701    u. cun 3184    C_ wss 3186   {csn 3674   {cpr 3675   {ctp 3676   ` cfv 5292   Basecbs 13195   LModclmod 15676   LSubSpclss 15738   LSpanclspn 15777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778
  Copyright terms: Public domain W3C validator