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Theorem lspun 15744
Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspss.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspun  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  =  ( N `  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) ) )

Proof of Theorem lspun
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  V )
3 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  V )
42, 3unssd 3351 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( T  u.  U )  C_  V )
5 ssun1 3338 . . . . . . 7  |-  T  C_  ( T  u.  U
)
65a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  ( T  u.  U
) )
7 lspss.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lspss.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
97, 8lspss 15741 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V  /\  T  C_  ( T  u.  U
) )  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
101, 4, 6, 9syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
11 ssun2 3339 . . . . . . 7  |-  U  C_  ( T  u.  U
)
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( T  u.  U
) )
137, 8lspss 15741 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V  /\  U  C_  ( T  u.  U
) )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
141, 4, 12, 13syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
1510, 14unssd 3351 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )
167, 8lspssv 15740 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V )
171, 4, 16syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V )
1815, 17sstrd 3189 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  V )
197, 8lspssid 15742 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V )  ->  T  C_  ( N `  T
) )
201, 2, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  ( N `  T
) )
217, 8lspssid 15742 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
221, 3, 21syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
23 unss12 3347 . . . 4  |-  ( ( T  C_  ( N `  T )  /\  U  C_  ( N `  U
) )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )
2420, 22, 23syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )
257, 8lspss 15741 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  V  /\  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U ) ) ) )
261, 18, 24, 25syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U ) ) ) )
277, 8lspss 15741 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V  /\  ( ( N `
 T )  u.  ( N `  U
) )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )  C_  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) ) )
281, 17, 15, 27syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U
) ) )  C_  ( N `  ( N `
 ( T  u.  U ) ) ) )
297, 8lspidm 15743 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V )  ->  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
301, 4, 29syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
3128, 30sseqtrd 3214 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U
) ) )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )
3226, 31eqssd 3196 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  =  ( N `  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   ` cfv 5255   Basecbs 13148   LModclmod 15627   LSpanclspn 15728
This theorem is referenced by:  lspun0  15768  lsmsp2  15840  lsmpr  15842  lsppr  15846  islshpsm  29170  lshpnel2N  29175  lkrlsp3  29294  dochsatshp  31641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729
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