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Theorem lspun 15793
Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspss.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspun  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  =  ( N `  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) ) )

Proof of Theorem lspun
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  V )
3 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  V )
42, 3unssd 3385 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( T  u.  U )  C_  V )
5 ssun1 3372 . . . . . . 7  |-  T  C_  ( T  u.  U
)
65a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  ( T  u.  U
) )
7 lspss.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lspss.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
97, 8lspss 15790 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V  /\  T  C_  ( T  u.  U
) )  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
101, 4, 6, 9syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
11 ssun2 3373 . . . . . . 7  |-  U  C_  ( T  u.  U
)
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( T  u.  U
) )
137, 8lspss 15790 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V  /\  U  C_  ( T  u.  U
) )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
141, 4, 12, 13syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
1510, 14unssd 3385 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )
167, 8lspssv 15789 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V )
171, 4, 16syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V )
1815, 17sstrd 3223 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  V )
197, 8lspssid 15791 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V )  ->  T  C_  ( N `  T
) )
201, 2, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  ( N `  T
) )
217, 8lspssid 15791 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
221, 3, 21syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
23 unss12 3381 . . . 4  |-  ( ( T  C_  ( N `  T )  /\  U  C_  ( N `  U
) )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )
2420, 22, 23syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )
257, 8lspss 15790 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  V  /\  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U ) ) ) )
261, 18, 24, 25syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U ) ) ) )
277, 8lspss 15790 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V  /\  ( ( N `
 T )  u.  ( N `  U
) )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )  C_  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) ) )
281, 17, 15, 27syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U
) ) )  C_  ( N `  ( N `
 ( T  u.  U ) ) ) )
297, 8lspidm 15792 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V )  ->  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
301, 4, 29syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
3128, 30sseqtrd 3248 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U
) ) )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )
3226, 31eqssd 3230 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  =  ( N `  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    u. cun 3184    C_ wss 3186   ` cfv 5292   Basecbs 13195   LModclmod 15676   LSpanclspn 15777
This theorem is referenced by:  lspun0  15817  lsmsp2  15889  lsmpr  15891  lsppr  15895  islshpsm  28988  lshpnel2N  28993  lkrlsp3  29112  dochsatshp  31459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778
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