MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun0 Structured version   Unicode version

Theorem lspun0 16089
Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspun0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspun0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspun0.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspun0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspun0.x  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
Assertion
Ref Expression
lspun0  |-  ( ph  ->  ( N `  ( X  u.  {  .0.  } ) )  =  ( N `  X ) )

Proof of Theorem lspun0
StepHypRef Expression
1 lspun0.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspun0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
3 lspun0.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lspun0.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
53, 4lmod0vcl 15981 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
76snssd 3945 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  V )
8 lspun0.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
93, 8lspun 16065 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  C_  V  /\  {  .0.  } 
C_  V )  -> 
( N `  ( X  u.  {  .0.  } ) )  =  ( N `  ( ( N `  X )  u.  ( N `  {  .0.  } ) ) ) )
101, 2, 7, 9syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  ( X  u.  {  .0.  } ) )  =  ( N `  ( ( N `  X )  u.  ( N `  {  .0.  } ) ) ) )
114, 8lspsn0 16086 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
121, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  {  .0.  } )  =  {  .0.  } )
1312uneq2d 3503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  u.  ( N `  {  .0.  }
) )  =  ( ( N `  X
)  u.  {  .0.  } ) )
14 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
153, 14, 8lspcl 16054 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  C_  V )  ->  ( N `  X )  e.  ( LSubSp `  W )
)
161, 2, 15syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
174, 14lss0ss 16027 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  X )  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  {  .0.  } 
C_  ( N `  X ) )
181, 16, 17syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( N `  X ) )
19 ssequn2 3522 . . . . . 6  |-  ( {  .0.  }  C_  ( N `  X )  <->  ( ( N `  X
)  u.  {  .0.  } )  =  ( N `
 X ) )
2018, 19sylib 190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  u.  {  .0.  } )  =  ( N `  X ) )
2113, 20eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  u.  ( N `  {  .0.  }
) )  =  ( N `  X ) )
2221fveq2d 5734 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( N `  X
)  u.  ( N `
 {  .0.  }
) ) )  =  ( N `  ( N `  X )
) )
233, 8lspidm 16064 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  C_  V )  ->  ( N `  ( N `  X ) )  =  ( N `  X
) )
241, 2, 23syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
2522, 24eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( N `  X
)  u.  ( N `
 {  .0.  }
) ) )  =  ( N `  X
) )
2610, 25eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( N `  ( X  u.  {  .0.  } ) )  =  ( N `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320    C_ wss 3322   {csn 3816   ` cfv 5456   Basecbs 13471   0gc0g 13725   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010   LSpanclspn 16049
This theorem is referenced by:  dvh4dimN  32307
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050
  Copyright terms: Public domain W3C validator