MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lss0v Structured version   Unicode version

Theorem lss0v 16092
Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0v.x  |-  X  =  ( Ws  U )
lss0v.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lss0v.z  |-  Z  =  ( 0g `  X
)
lss0v.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lss0v  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  Z  =  .0.  )

Proof of Theorem lss0v
StepHypRef Expression
1 0ss 3656 . . . . 5  |-  (/)  C_  U
2 lss0v.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Ws  U )
3 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
4 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  X )  =  (
LSpan `  X )
5 lss0v.l . . . . . 6  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
62, 3, 4, 5lsslsp 16091 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L  /\  (/)  C_  U
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (/) )  =  ( (
LSpan `  X ) `  (/) ) )
71, 6mp3an3 1268 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  W ) `  (/) )  =  ( ( LSpan `  X ) `  (/) ) )
8 lss0v.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
98, 3lsp0 16085 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( (
LSpan `  W ) `  (/) )  =  {  .0.  } )
109adantr 452 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  W ) `  (/) )  =  {  .0.  } )
112, 5lsslmod 16036 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  X  e.  LMod )
12 lss0v.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( 0g `  X
)
1312, 4lsp0 16085 . . . . 5  |-  ( X  e.  LMod  ->  ( (
LSpan `  X ) `  (/) )  =  { Z } )
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  X ) `  (/) )  =  { Z } )
157, 10, 143eqtr3rd 2477 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  { Z }  =  {  .0.  } )
1615unieqd 4026 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  U. { Z }  =  U. {  .0.  } )
17 fvex 5742 . . . 4  |-  ( 0g
`  X )  e. 
_V
1812, 17eqeltri 2506 . . 3  |-  Z  e. 
_V
1918unisn 4031 . 2  |-  U. { Z }  =  Z
20 fvex 5742 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  e. 
_V
218, 20eqeltri 2506 . . 3  |-  .0.  e.  _V
2221unisn 4031 . 2  |-  U. {  .0.  }  =  .0.
2316, 19, 223eqtr3g 2491 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  Z  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   U.cuni 4015   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾s cress 13470   0gc0g 13723   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008   LSpanclspn 16047
This theorem is referenced by:  lcd0v  32409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048
  Copyright terms: Public domain W3C validator