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Theorem lssacs 15740
Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacs.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lssacs.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssacs  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e.  (ACS `  B )
)

Proof of Theorem lssacs
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssacs.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 lssacs.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 15710 . . . . 5  |-  ( a  e.  S  ->  a  C_  B )
43a1i 10 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  ->  a  C_  B ) )
5 inss2 3403 . . . . . . . 8  |-  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  C_  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }
6 ssrab2 3271 . . . . . . . 8  |-  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  C_  ~P B
75, 6sstri 3201 . . . . . . 7  |-  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  C_  ~P B
87sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  e.  ~P B
)
9 elpwi 3646 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ~P B  -> 
a  C_  B )
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  C_  B )
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  C_  B )
)
12 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
13 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
14 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1512, 13, 1, 14, 2islss4 15735 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) ) )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) ) )
17 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
1817elpw 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P B  <->  a  C_  B )
19 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  a  ->  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  b  <->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
2019raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  a  ->  ( A. y  e.  b 
( x ( .s
`  W ) y )  e.  b  <->  A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
2120ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  a  ->  ( A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b  <->  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
2221elrab3 2937 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P B  -> 
( a  e.  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2318, 22sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  B  ->  (
a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2423adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2524anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } )  <-> 
( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  a  ( x ( .s `  W ) y )  e.  a ) ) )
2616, 25bitr4d 247 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } ) ) )
27 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } ) )
2826, 27syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) )
2928ex 423 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a 
C_  B  ->  (
a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) ) )
304, 11, 29pm5.21ndd 343 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) )
3130eqrdv 2294 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  =  ( (SubGrp `  W
)  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  b  ( x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) )
32 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
331, 32eqeltri 2366 . . . 4  |-  B  e. 
_V
34 mreacs 13576 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
3533, 34mp1i 11 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
36 lmodgrp 15650 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
371subgacs 14668 . . . 4  |-  ( W  e.  Grp  ->  (SubGrp `  W )  e.  (ACS
`  B ) )
3836, 37syl 15 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  (SubGrp `  W )  e.  (ACS
`  B ) )
391, 12, 14, 13lmodvscl 15660 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( .s
`  W ) y )  e.  B )
40393expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  W ) y )  e.  B )
4140ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  B  (
x ( .s `  W ) y )  e.  B )
42 acsfn1c 13580 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  B  ( x ( .s `  W ) y )  e.  B
)  ->  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  b  ( x ( .s `  W ) y )  e.  b }  e.  (ACS `  B ) )
4333, 41, 42sylancr 644 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  e.  (ACS
`  B ) )
44 mreincl 13517 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubGrp `  W
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  e.  (ACS
`  B ) )  ->  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  e.  (ACS `  B )
)
4535, 38, 43, 44syl3anc 1182 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  e.  (ACS `  B )
)
4631, 45eqeltrd 2370 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e.  (ACS `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228  Moorecmre 13500  ACScacs 13503   Grpcgrp 14378  SubGrpcsubg 14631   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705
This theorem is referenced by:  lssacsex  15913  lidlacs  15989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706
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