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Theorem lssacs 15724
Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacs.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lssacs.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssacs  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e.  (ACS `  B )
)

Proof of Theorem lssacs
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssacs.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 lssacs.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 15694 . . . . 5  |-  ( a  e.  S  ->  a  C_  B )
43a1i 10 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  ->  a  C_  B ) )
5 inss2 3390 . . . . . . . 8  |-  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  C_  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }
6 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  C_  ~P B
75, 6sstri 3188 . . . . . . 7  |-  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  C_  ~P B
87sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  e.  ~P B
)
9 elpwi 3633 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ~P B  -> 
a  C_  B )
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  C_  B )
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  C_  B )
)
12 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
13 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
14 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1512, 13, 1, 14, 2islss4 15719 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) ) )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) ) )
17 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
1817elpw 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P B  <->  a  C_  B )
19 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  a  ->  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  b  <->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
2019raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  a  ->  ( A. y  e.  b 
( x ( .s
`  W ) y )  e.  b  <->  A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
2120ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  a  ->  ( A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b  <->  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
2221elrab3 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P B  -> 
( a  e.  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2318, 22sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  B  ->  (
a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2423adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2524anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } )  <-> 
( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  a  ( x ( .s `  W ) y )  e.  a ) ) )
2616, 25bitr4d 247 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } ) ) )
27 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } ) )
2826, 27syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) )
2928ex 423 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a 
C_  B  ->  (
a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) ) )
304, 11, 29pm5.21ndd 343 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) )
3130eqrdv 2281 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  =  ( (SubGrp `  W
)  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  b  ( x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) )
32 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
331, 32eqeltri 2353 . . . 4  |-  B  e. 
_V
34 mreacs 13560 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
3533, 34mp1i 11 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
36 lmodgrp 15634 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
371subgacs 14652 . . . 4  |-  ( W  e.  Grp  ->  (SubGrp `  W )  e.  (ACS
`  B ) )
3836, 37syl 15 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  (SubGrp `  W )  e.  (ACS
`  B ) )
391, 12, 14, 13lmodvscl 15644 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( .s
`  W ) y )  e.  B )
40393expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  W ) y )  e.  B )
4140ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  B  (
x ( .s `  W ) y )  e.  B )
42 acsfn1c 13564 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  B  ( x ( .s `  W ) y )  e.  B
)  ->  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  b  ( x ( .s `  W ) y )  e.  b }  e.  (ACS `  B ) )
4333, 41, 42sylancr 644 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  e.  (ACS
`  B ) )
44 mreincl 13501 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubGrp `  W
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  e.  (ACS
`  B ) )  ->  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  e.  (ACS `  B )
)
4535, 38, 43, 44syl3anc 1182 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  e.  (ACS `  B )
)
4631, 45eqeltrd 2357 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e.  (ACS `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212  Moorecmre 13484  ACScacs 13487   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689
This theorem is referenced by:  lssacsex  15897  lidlacs  15973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690
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