Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssacs Structured version   Unicode version

Theorem lssacs 16035
 Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacs.b
lssacs.s
Assertion
Ref Expression
lssacs ACS

Proof of Theorem lssacs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssacs.b . . . . . 6
2 lssacs.s . . . . . 6
31, 2lssss 16005 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4
5 inss2 3554 . . . . . . . 8 SubGrp Scalar Scalar
6 ssrab2 3420 . . . . . . . 8 Scalar
75, 6sstri 3349 . . . . . . 7 SubGrp Scalar
87sseli 3336 . . . . . 6 SubGrp Scalar
98elpwid 3800 . . . . 5 SubGrp Scalar
109a1i 11 . . . 4 SubGrp Scalar
11 eqid 2435 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
12 eqid 2435 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
13 eqid 2435 . . . . . . . . 9
1411, 12, 1, 13, 2islss4 16030 . . . . . . . 8 SubGrp Scalar
1514adantr 452 . . . . . . 7 SubGrp Scalar
16 vex 2951 . . . . . . . . . . 11
1716elpw 3797 . . . . . . . . . 10
18 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . 13
1918raleqbi1dv 2904 . . . . . . . . . . . 12
2019ralbidv 2717 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
2120elrab3 3085 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
2217, 21sylbir 205 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
2322adantl 453 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
2423anbi2d 685 . . . . . . 7 SubGrp Scalar SubGrp Scalar
2515, 24bitr4d 248 . . . . . 6 SubGrp Scalar
26 elin 3522 . . . . . 6 SubGrp Scalar SubGrp Scalar
2725, 26syl6bbr 255 . . . . 5 SubGrp Scalar
2827ex 424 . . . 4 SubGrp Scalar
294, 10, 28pm5.21ndd 344 . . 3 SubGrp Scalar
3029eqrdv 2433 . 2 SubGrp Scalar
31 fvex 5734 . . . . 5
321, 31eqeltri 2505 . . . 4
33 mreacs 13875 . . . 4 ACS Moore
3432, 33mp1i 12 . . 3 ACS Moore
35 lmodgrp 15949 . . . 4
361subgacs 14967 . . . 4 SubGrp ACS
3735, 36syl 16 . . 3 SubGrp ACS
381, 11, 13, 12lmodvscl 15959 . . . . . 6 Scalar
39383expb 1154 . . . . 5 Scalar
4039ralrimivva 2790 . . . 4 Scalar
41 acsfn1c 13879 . . . 4 Scalar Scalar ACS
4232, 40, 41sylancr 645 . . 3 Scalar ACS
43 mreincl 13816 . . 3 ACS Moore SubGrp ACS Scalar ACS SubGrp Scalar ACS
4434, 37, 42, 43syl3anc 1184 . 2 SubGrp Scalar ACS
4530, 44eqeltrd 2509 1 ACS
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   cin 3311   wss 3312  cpw 3791  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  Moorecmre 13799  ACScacs 13802  cgrp 14677  SubGrpcsubg 14930  clmod 15942  clss 16000 This theorem is referenced by:  lssacsex  16208  lidlacs  16284 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001
 Copyright terms: Public domain W3C validator