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Theorem lssacs 15970
Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacs.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lssacs.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssacs  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e.  (ACS `  B )
)

Proof of Theorem lssacs
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssacs.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 lssacs.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 15940 . . . . 5  |-  ( a  e.  S  ->  a  C_  B )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  ->  a  C_  B ) )
5 inss2 3505 . . . . . . . 8  |-  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  C_  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }
6 ssrab2 3371 . . . . . . . 8  |-  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  C_  ~P B
75, 6sstri 3300 . . . . . . 7  |-  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  C_  ~P B
87sseli 3287 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  e.  ~P B
)
98elpwid 3751 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  C_  B )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  C_  B )
)
11 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
12 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
13 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1411, 12, 1, 13, 2islss4 15965 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) ) )
1514adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) ) )
16 vex 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
1716elpw 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P B  <->  a  C_  B )
18 eleq2 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  a  ->  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  b  <->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
1918raleqbi1dv 2855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  a  ->  ( A. y  e.  b 
( x ( .s
`  W ) y )  e.  b  <->  A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
2019ralbidv 2669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  a  ->  ( A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b  <->  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
2120elrab3 3036 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P B  -> 
( a  e.  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2217, 21sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  B  ->  (
a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2322adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2423anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } )  <-> 
( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  a  ( x ( .s `  W ) y )  e.  a ) ) )
2515, 24bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } ) ) )
26 elin 3473 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } ) )
2725, 26syl6bbr 255 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) )
2827ex 424 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a 
C_  B  ->  (
a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) ) )
294, 10, 28pm5.21ndd 344 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) )
3029eqrdv 2385 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  =  ( (SubGrp `  W
)  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  b  ( x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) )
31 fvex 5682 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
321, 31eqeltri 2457 . . . 4  |-  B  e. 
_V
33 mreacs 13810 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
3432, 33mp1i 12 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
35 lmodgrp 15884 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
361subgacs 14902 . . . 4  |-  ( W  e.  Grp  ->  (SubGrp `  W )  e.  (ACS
`  B ) )
3735, 36syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  (SubGrp `  W )  e.  (ACS
`  B ) )
381, 11, 13, 12lmodvscl 15894 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( .s
`  W ) y )  e.  B )
39383expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  W ) y )  e.  B )
4039ralrimivva 2741 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  B  (
x ( .s `  W ) y )  e.  B )
41 acsfn1c 13814 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  B  ( x ( .s `  W ) y )  e.  B
)  ->  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  b  ( x ( .s `  W ) y )  e.  b }  e.  (ACS `  B ) )
4232, 40, 41sylancr 645 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  e.  (ACS
`  B ) )
43 mreincl 13751 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubGrp `  W
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  e.  (ACS
`  B ) )  ->  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  e.  (ACS `  B )
)
4434, 37, 42, 43syl3anc 1184 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  e.  (ACS `  B )
)
4530, 44eqeltrd 2461 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e.  (ACS `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   {crab 2653   _Vcvv 2899    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396  Scalarcsca 13459   .scvsca 13460  Moorecmre 13734  ACScacs 13737   Grpcgrp 14612  SubGrpcsubg 14865   LModclmod 15877   LSubSpclss 15935
This theorem is referenced by:  lssacsex  16143  lidlacs  16219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-0g 13654  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-lmod 15879  df-lss 15936
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