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Theorem lssacsex 16221
Description: In a vector space, subspaces form an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property. Strengthening of lssacs 16048 by lspsolv 16220. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacsex.1  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
lssacsex.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
lssacsex.3  |-  X  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
lssacsex  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A  e.  (ACS `  X
)  /\  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
Distinct variable groups:    W, s,
y, z    y, X, z
Allowed substitution hints:    A( y, z, s)    N( y, z, s)    X( s)

Proof of Theorem lssacsex
StepHypRef Expression
1 lveclmod 16183 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2 lssacsex.3 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  W
)
3 lssacsex.1 . . . 4  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssacs 16048 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  e.  (ACS `  X )
)
51, 4syl 16 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  A  e.  (ACS `  X )
)
6 simplll 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  W  e.  LVec )
7 simpllr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  s  e.  ~P X )
87elpwid 3810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  s  C_  X
)
9 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  X
)
10 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  z  e.  ( ( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) )
11 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
12 lssacsex.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (mrCls `  A )
133, 11, 12mrclsp 16070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSpan `  W )  =  N )
146, 1, 133syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( LSpan `  W
)  =  N )
1514fveq1d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
s  u.  { y } ) )  =  ( N `  (
s  u.  { y } ) ) )
1614fveq1d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  s
)  =  ( N `
 s ) )
1715, 16difeq12d 3468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( (
LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( LSpan `  W ) `  s
) )  =  ( ( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) )
1810, 17eleqtrrd 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  z  e.  ( ( ( LSpan `  W
) `  ( s  u.  { y } ) )  \  ( (
LSpan `  W ) `  s ) ) )
192, 3, 11lspsolv 16220 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
s  C_  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  ( (
( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( LSpan `  W ) `  s
) ) ) )  ->  y  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
z } ) ) )
206, 8, 9, 18, 19syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
z } ) ) )
2114fveq1d 5733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
s  u.  { z } ) )  =  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2220, 21eleqtrd 2514 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  ( N `  ( s  u.  { z } ) ) )
2322ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  s  e.  ~P X
)  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
2423ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  s  e.  ~P X )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2524ralrimiva 2791 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
265, 25jca 520 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A  e.  (ACS `  X
)  /\  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   ` cfv 5457   Basecbs 13474  mrClscmrc 13813  ACScacs 13815   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   LSpanclspn 16052   LVecclvec 16179
This theorem is referenced by:  lvecdim  16234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180
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