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Theorem lssacsex 15990
Description: In a vector space, subspaces form an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property. Strengthening of lssacs 15817 by lspsolv 15989. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacsex.1  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
lssacsex.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
lssacsex.3  |-  X  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
lssacsex  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A  e.  (ACS `  X
)  /\  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
Distinct variable groups:    W, s,
y, z    y, X, z
Allowed substitution hints:    A( y, z, s)    N( y, z, s)    X( s)

Proof of Theorem lssacsex
StepHypRef Expression
1 lveclmod 15952 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2 lssacsex.3 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  W
)
3 lssacsex.1 . . . 4  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssacs 15817 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  e.  (ACS `  X )
)
51, 4syl 15 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  A  e.  (ACS `  X )
)
6 simplll 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  W  e.  LVec )
7 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  s  e.  ~P X )
87elpwid 3710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  s  C_  X
)
9 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  X
)
10 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  z  e.  ( ( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) )
11 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
12 lssacsex.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (mrCls `  A )
133, 11, 12mrclsp 15839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSpan `  W )  =  N )
146, 1, 133syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( LSpan `  W
)  =  N )
1514fveq1d 5607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
s  u.  { y } ) )  =  ( N `  (
s  u.  { y } ) ) )
1614fveq1d 5607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  s
)  =  ( N `
 s ) )
1715, 16difeq12d 3371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( (
LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( LSpan `  W ) `  s
) )  =  ( ( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) )
1810, 17eleqtrrd 2435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  z  e.  ( ( ( LSpan `  W
) `  ( s  u.  { y } ) )  \  ( (
LSpan `  W ) `  s ) ) )
192, 3, 11lspsolv 15989 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
s  C_  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  ( (
( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( LSpan `  W ) `  s
) ) ) )  ->  y  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
z } ) ) )
206, 8, 9, 18, 19syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
z } ) ) )
2114fveq1d 5607 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
s  u.  { z } ) )  =  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2220, 21eleqtrd 2434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  ( N `  ( s  u.  { z } ) ) )
2322ralrimiva 2702 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  s  e.  ~P X
)  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
2423ralrimiva 2702 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  s  e.  ~P X )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2524ralrimiva 2702 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
265, 25jca 518 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A  e.  (ACS `  X
)  /\  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619    \ cdif 3225    u. cun 3226    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   {csn 3716   ` cfv 5334   Basecbs 13239  mrClscmrc 13578  ACScacs 13580   LModclmod 15720   LSubSpclss 15782   LSpanclspn 15821   LVecclvec 15948
This theorem is referenced by:  lvecdim  16003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-0g 13497  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-subg 14711  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-drng 15607  df-lmod 15722  df-lss 15783  df-lsp 15822  df-lvec 15949
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