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Theorem lssacsex 15897
Description: In a vector space, subspaces form an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property. Strengthening of lssacs 15724 by lspsolv 15896. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacsex.1  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
lssacsex.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
lssacsex.3  |-  X  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
lssacsex  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A  e.  (ACS `  X
)  /\  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
Distinct variable groups:    W, s,
y, z    y, X, z
Allowed substitution hints:    A( y, z, s)    N( y, z, s)    X( s)

Proof of Theorem lssacsex
StepHypRef Expression
1 lveclmod 15859 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2 lssacsex.3 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  W
)
3 lssacsex.1 . . . 4  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssacs 15724 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  e.  (ACS `  X )
)
51, 4syl 15 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  A  e.  (ACS `  X )
)
6 simplll 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  W  e.  LVec )
7 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  s  e.  ~P X )
87elpwid 3634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  s  C_  X
)
9 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  X
)
10 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  z  e.  ( ( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) )
11 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
12 lssacsex.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (mrCls `  A )
133, 11, 12mrclsp 15746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSpan `  W )  =  N )
146, 1, 133syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( LSpan `  W
)  =  N )
1514fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
s  u.  { y } ) )  =  ( N `  (
s  u.  { y } ) ) )
1614fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  s
)  =  ( N `
 s ) )
1715, 16difeq12d 3295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( (
LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( LSpan `  W ) `  s
) )  =  ( ( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) )
1810, 17eleqtrrd 2360 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  z  e.  ( ( ( LSpan `  W
) `  ( s  u.  { y } ) )  \  ( (
LSpan `  W ) `  s ) ) )
192, 3, 11lspsolv 15896 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
s  C_  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  ( (
( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( LSpan `  W ) `  s
) ) ) )  ->  y  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
z } ) ) )
206, 8, 9, 18, 19syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
z } ) ) )
2114fveq1d 5527 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
s  u.  { z } ) )  =  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2220, 21eleqtrd 2359 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  ( N `  ( s  u.  { z } ) ) )
2322ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  s  e.  ~P X
)  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
2423ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  s  e.  ~P X )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2524ralrimiva 2626 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
265, 25jca 518 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A  e.  (ACS `  X
)  /\  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   ` cfv 5255   Basecbs 13148  mrClscmrc 13485  ACScacs 13487   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  lvecdim  15910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856
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