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Theorem lssacsex 16171
Description: In a vector space, subspaces form an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property. Strengthening of lssacs 15998 by lspsolv 16170. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacsex.1  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
lssacsex.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
lssacsex.3  |-  X  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
lssacsex  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A  e.  (ACS `  X
)  /\  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
Distinct variable groups:    W, s,
y, z    y, X, z
Allowed substitution hints:    A( y, z, s)    N( y, z, s)    X( s)

Proof of Theorem lssacsex
StepHypRef Expression
1 lveclmod 16133 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2 lssacsex.3 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  W
)
3 lssacsex.1 . . . 4  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssacs 15998 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  e.  (ACS `  X )
)
51, 4syl 16 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  A  e.  (ACS `  X )
)
6 simplll 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  W  e.  LVec )
7 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  s  e.  ~P X )
87elpwid 3768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  s  C_  X
)
9 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  X
)
10 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  z  e.  ( ( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) )
11 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
12 lssacsex.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (mrCls `  A )
133, 11, 12mrclsp 16020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSpan `  W )  =  N )
146, 1, 133syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( LSpan `  W
)  =  N )
1514fveq1d 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
s  u.  { y } ) )  =  ( N `  (
s  u.  { y } ) ) )
1614fveq1d 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  s
)  =  ( N `
 s ) )
1715, 16difeq12d 3426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( (
LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( LSpan `  W ) `  s
) )  =  ( ( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) )
1810, 17eleqtrrd 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  z  e.  ( ( ( LSpan `  W
) `  ( s  u.  { y } ) )  \  ( (
LSpan `  W ) `  s ) ) )
192, 3, 11lspsolv 16170 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
s  C_  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  ( (
( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( LSpan `  W ) `  s
) ) ) )  ->  y  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
z } ) ) )
206, 8, 9, 18, 19syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
z } ) ) )
2114fveq1d 5689 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
s  u.  { z } ) )  =  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2220, 21eleqtrd 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  ( N `  ( s  u.  { z } ) ) )
2322ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  s  e.  ~P X
)  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
2423ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  s  e.  ~P X )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2524ralrimiva 2749 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
265, 25jca 519 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A  e.  (ACS `  X
)  /\  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   ` cfv 5413   Basecbs 13424  mrClscmrc 13763  ACScacs 13765   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   LSpanclspn 16002   LVecclvec 16129
This theorem is referenced by:  lvecdim  16184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130
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