Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssat Unicode version

Theorem lssat 29828
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 22959 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
Assertion
Ref Expression
lssat  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  U  C.  V )  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
Distinct variable groups:    A, p    S, p    U, p    V, p    W, p

Proof of Theorem lssat
StepHypRef Expression
1 dfpss3 3275 . . 3  |-  ( U 
C.  V  <->  ( U  C_  V  /\  -.  V  C_  U ) )
21simprbi 450 . 2  |-  ( U 
C.  V  ->  -.  V  C_  U )
3 ss2rab 3262 . . . . . 6  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  V  ->  p  C_  U
) )
4 iman 413 . . . . . . 7  |-  ( ( p  C_  V  ->  p 
C_  U )  <->  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
54ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. p  e.  A  (
p  C_  V  ->  p 
C_  U )  <->  A. p  e.  A  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
63, 5bitr2i 241 . . . . 5  |-  ( A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U )  <->  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)
7 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  W  e.  LMod )
8 lssat.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
9 lssat.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
108, 9lsatlss 29808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
117, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  A  C_  S
)
12 rabss2 3269 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  S  ->  { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U } )
13 uniss 3864 . . . . . . . . . 10  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_ 
U. { p  e.  S  |  p  C_  U } )
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U } )
15 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  e.  S )
16 unimax 3877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
18 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1918, 8lssss 15710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
2015, 19syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  C_  ( Base `  W ) )
2117, 20eqsstrd 3225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2214, 21sstrd 3202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
23 uniss 3864 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
2423adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )
25 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2618, 25lspss 15757 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
277, 22, 24, 26syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
28 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  e.  S )
298, 25, 9lssats 29824 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  V  e.  S )  ->  V  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
) )
307, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  =  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V } ) )
318, 25, 9lssats 29824 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
327, 15, 31syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  =  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) )
3327, 30, 323sstr4d 3234 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  C_  U
)
3433ex 423 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  V  C_  U )
)
356, 34syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  ->  ( A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U
)  ->  V  C_  U
) )
3635con3and 428 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  -.  V  C_  U
)  ->  -.  A. p  e.  A  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
37 dfrex2 2569 . . 3  |-  ( E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U )  <->  -.  A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U
) )
3836, 37sylibr 203 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  -.  V  C_  U
)  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
392, 38sylan2 460 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  U  C.  V )  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165    C. wpss 3166   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Basecbs 13164   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744  LSAtomsclsa 29786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lsatoms 29788
  Copyright terms: Public domain W3C validator