Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Unicode version

Theorem lssatle 29131
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 23723 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssatle.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lssatle.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssatle.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lssatle.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lssatle  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p 
C_  U ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    S, p    T, p    U, p    W, p
Allowed substitution hint:    ph( p)

Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3300 . . . 4  |-  ( ( p  C_  T  /\  T  C_  U )  ->  p  C_  U )
21expcom 425 . . 3  |-  ( T 
C_  U  ->  (
p  C_  T  ->  p 
C_  U ) )
32ralrimivw 2734 . 2  |-  ( T 
C_  U  ->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
) )
4 ss2rab 3363 . . 3  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
) )
5 lssatle.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
65adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  W  e.  LMod )
7 lssatle.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
8 lssatle.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
97, 8lsatlss 29112 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
105, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
11 rabss2 3370 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  S  ->  { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U } )
12 uniss 3979 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_ 
U. { p  e.  S  |  p  C_  U } )
1310, 11, 123syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U } )
14 lssatle.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
15 unimax 3992 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U
)
17 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1817, 7lssss 15941 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
1914, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Base `  W ) )
2016, 19eqsstrd 3326 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2113, 20sstrd 3302 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2221adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
) )
23 uniss 3979 . . . . . . 7  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
2423adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
25 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2617, 25lspss 15988 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
276, 22, 24, 26syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  -> 
( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) )
2827ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) ) )
29 lssatle.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
307, 25, 8lssats 29128 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
) )
315, 29, 30syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
) )
327, 25, 8lssats 29128 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
335, 14, 32syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
3431, 33sseq12d 3321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) ) )
3528, 34sylibrd 226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  T  C_  U ) )
364, 35syl5bir 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
)  ->  T  C_  U
) )
373, 36impbid2 196 1  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p 
C_  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   {crab 2654    C_ wss 3264   U.cuni 3958   ` cfv 5395   Basecbs 13397   LModclmod 15878   LSubSpclss 15936   LSpanclspn 15975  LSAtomsclsa 29090
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  31753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-lsatoms 29092
  Copyright terms: Public domain W3C validator