Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Unicode version

Theorem lssatle 29827
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 22967 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssatle.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lssatle.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssatle.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lssatle.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lssatle  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p 
C_  U ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    S, p    T, p    U, p    W, p
Allowed substitution hint:    ph( p)

Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3200 . . . 4  |-  ( ( p  C_  T  /\  T  C_  U )  ->  p  C_  U )
21expcom 424 . . 3  |-  ( T 
C_  U  ->  (
p  C_  T  ->  p 
C_  U ) )
32ralrimivw 2640 . 2  |-  ( T 
C_  U  ->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
) )
4 ss2rab 3262 . . 3  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
) )
5 lssatle.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  W  e.  LMod )
7 lssatle.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
8 lssatle.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
97, 8lsatlss 29808 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
105, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
11 rabss2 3269 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  S  ->  { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U } )
12 uniss 3864 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_ 
U. { p  e.  S  |  p  C_  U } )
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U } )
14 lssatle.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
15 unimax 3877 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U
)
17 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1817, 7lssss 15710 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
1914, 18syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Base `  W ) )
2016, 19eqsstrd 3225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2113, 20sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2221adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
) )
23 uniss 3864 . . . . . . 7  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
2423adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
25 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2617, 25lspss 15757 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
276, 22, 24, 26syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  -> 
( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) )
2827ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) ) )
29 lssatle.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
307, 25, 8lssats 29824 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
) )
315, 29, 30syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
) )
327, 25, 8lssats 29824 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
335, 14, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
3431, 33sseq12d 3220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) ) )
3528, 34sylibrd 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  T  C_  U ) )
364, 35syl5bir 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
)  ->  T  C_  U
) )
373, 36impbid2 195 1  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p 
C_  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Basecbs 13164   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744  LSAtomsclsa 29786
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  32449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lsatoms 29788
  Copyright terms: Public domain W3C validator