Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Unicode version

Theorem lssatle 29205
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 22951 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssatle.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lssatle.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssatle.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lssatle.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lssatle  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p 
C_  U ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    S, p    T, p    U, p    W, p
Allowed substitution hint:    ph( p)

Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3187 . . . 4  |-  ( ( p  C_  T  /\  T  C_  U )  ->  p  C_  U )
21expcom 424 . . 3  |-  ( T 
C_  U  ->  (
p  C_  T  ->  p 
C_  U ) )
32ralrimivw 2627 . 2  |-  ( T 
C_  U  ->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
) )
4 ss2rab 3249 . . 3  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
) )
5 lssatle.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  W  e.  LMod )
7 lssatle.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
8 lssatle.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
97, 8lsatlss 29186 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
105, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
11 rabss2 3256 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  S  ->  { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U } )
12 uniss 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_ 
U. { p  e.  S  |  p  C_  U } )
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U } )
14 lssatle.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
15 unimax 3861 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U
)
17 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1817, 7lssss 15694 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
1914, 18syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Base `  W ) )
2016, 19eqsstrd 3212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2113, 20sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2221adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
) )
23 uniss 3848 . . . . . . 7  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
2423adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
25 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2617, 25lspss 15741 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
276, 22, 24, 26syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  -> 
( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) )
2827ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) ) )
29 lssatle.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
307, 25, 8lssats 29202 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
) )
315, 29, 30syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
) )
327, 25, 8lssats 29202 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
335, 14, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
3431, 33sseq12d 3207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) ) )
3528, 34sylibrd 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  T  C_  U ) )
364, 35syl5bir 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
)  ->  T  C_  U
) )
373, 36impbid2 195 1  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p 
C_  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Basecbs 13148   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728  LSAtomsclsa 29164
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  31827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lsatoms 29166
  Copyright terms: Public domain W3C validator