Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatomic Structured version   Unicode version

Theorem lssatomic 29871
 Description: The lattice of subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. (shatomici 23863 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatomic.s
lssatomic.o
lssatomic.a LSAtoms
lssatomic.w
lssatomic.u
lssatomic.n
Assertion
Ref Expression
lssatomic
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem lssatomic
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssatomic.n . . 3
2 lssatomic.u . . . 4
3 lssatomic.o . . . . 5
4 lssatomic.s . . . . 5
53, 4lssne0 16029 . . . 4
62, 5syl 16 . . 3
71, 6mpbid 203 . 2
8 lssatomic.w . . . . . 6
983ad2ant1 979 . . . . 5
1023ad2ant1 979 . . . . . 6
11 simp2 959 . . . . . 6
12 eqid 2438 . . . . . . 7
1312, 4lssel 16016 . . . . . 6
1410, 11, 13syl2anc 644 . . . . 5
15 simp3 960 . . . . 5
16 eqid 2438 . . . . . 6
17 lssatomic.a . . . . . 6 LSAtoms
1812, 16, 3, 17lsatlspsn2 29852 . . . . 5
199, 14, 15, 18syl3anc 1185 . . . 4
204, 16, 9, 10, 11lspsnel5a 16074 . . . 4
21 sseq1 3371 . . . . 5
2221rspcev 3054 . . . 4
2319, 20, 22syl2anc 644 . . 3
2423rexlimdv3a 2834 . 2
257, 24mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708   wss 3322  csn 3816  cfv 5456  cbs 13471  c0g 13725  clmod 15952  clss 16010  clspn 16049  LSAtomsclsa 29834 This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  29909  dochexmidlem5  32324 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-riota 6551  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lsatoms 29836
 Copyright terms: Public domain W3C validator